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Lagrangesche Interpolation und die zugehörigen konjugierten Punkte. (German) JFM 58.1063.01

Es sei \(x_1,x_2,\dots,x_n\) ein im Intervall \((a,b)\) gelegenes System von Interpolationsstellen. Unter dem konjugierten System \(X_1,X_2,\dots,X_n\) versteht man die \(n\) Stellen an denen die Polynome der Hermiteschen Interpolation ihr Zeichen wechseln. (Jedes hat nur eine Wechselstelle.) Bei der Hermiteschen Interpolation sind die Funktionswerte und die der Ableitung an den \(x_i\) vorgegeben. Was die Lage der konjugierten Punkte anlangt, so wedern folgende Voraussetzungen gemacht: Es gilt entweder \(X_i\leq a\) oder \(X_i\geq b\), d. h. \((a,b)\) enthält keine konjugierten Punkte (Voraussetzung \(A\)). Ferner wird die weitergehende Voraussetzung \(B\) untersucht: Die Linearform \(v_k(x) = \dfrac {X_k - x}{X_k - x_k}\) ist in \(a\) und in \(b\) positiv, \(v_k(a)\geq \varrho \), \(v_k(b)\geq \varrho \) \((\varrho \leq 1)\). Verf. beweist dann folgende Sätze: Im Fall \(B\) gilt für die Grundpolynome \(l_j(x)\) der Lagrangeschen Interpolation die Ungleichung \[ \bigl (l_1(x)\bigr )^2 + \bigl (l_2(x)\bigr )^2+\cdots + \bigl (l_n(x)\bigr )^2\leq \frac {1}{\varrho }, \] ferner \[ |l_1(x)| + |l_2(x)| +\cdots + |l_n(x)|\leq \frac {1}{\varrho }\sqrt n \] \((a\leq x\leq b)\).
Sodann sei eine Dreiecksfolge von Interpolationsstellen \(x_1^{(1)}; x_2^{(1)}, x_2^{(2)};\cdots \) vorgelegt. \(f(x)\) sei in \((a,b)\) stetig und genüge einer Lipschitzbedingung mit einem Exponenten, der \(\frac 12\) übertrifft. \(L_n(x)\) sei das zu \(f(x)\) und \(x_1^{(n)},\dots,x_n^{(n)}\) gehörende Lagrangesche Interpolationspolynom. Im Fall \(B\) gilt dann: \[ \lim L_n(x) = f(x)\quad \text{gleichmäßig in}\quad a\leq x\leq b. \] Eine solche Dreiecksfolge bedeckt im Fall \(A\) das Intervall \((a,b)\) überall dicht. - Verf. untersucht dann die Konvergenz von Schmiegungspolynomen, die an den \(n\) Stellen im Wert der Funktion und der Ableitung mit \(f(x)\) übereinstimmen, gegen die interpolierte Funktion. Es gilt:
im Fall B \(\lim S_n(x) = f(x)\) gleichmäßig in \(a\leq x\leq b\),
im Fall A \(\lim S_n(x) = f(x)\) in \(a<x<b\), gleichmäßig in \(a+\varepsilon \leq x \leq b-\varepsilon \).
Weiter betrachtet Verf. noch einige Spezialfälle; z. B. ist B für die Nullstellen der Jacobischen Polynome erfüllt, wenn die Parameter zwischen \(0\) und \(\frac 12\) liegen. Bei beliebigen Parameterwerten gibt es in \(-1<x<1\) ein von konjugierten Punkten freies Intervall, dessen Lage genauer angegeben wird. Auch in diesem Fall kann man gewisse Konvergenzaussagen machen.

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