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Ein Satz über die Schnittpunktsätze des allgemeinen Fünfecksnetzes. (Das \((A,B)\)-Netz.). (German) JFM 58.0601.01

Das projektive, durch Adjunktion des \(D_9\) reduzierte Fünfecksnetz, das durch fünf Punkte in allgemeiner Lage erzeugt wird, ist aufzufassen als Zusammensetzung zweier Netze vom Typus \(A\) mit vier gemeinsamen Grundpunkten. Sind die Parameter der beiden Netze \(a\) und \(b\), und besteht zwischen beiden die Beziehung \(ab=ba\), so ist jedem Punkt des Gesamtnetzes (des \((A, B)\)-Netzes) eineindeutig als Koordinate eine Zahl aus dem Körper \(R(a,b)\) aller rationalen Funktionen von \(a\) und \(b\) zuzuordnen. Da die Bedingung \(ab=ba\) bedeutet, daßan einer bestimmten Stelle der Ebene die Gültigkeit des Pascalschen Satzes für ein Geradenpaar vorausgesetzt wird, so ist hiermit gezeigt, daßalle im allgemeinen Fünfecksnetz gültigen Schnittpunktsätze aus dem \(D_9\) und der Existenz einer bestimmten Pascalschen Konfiguration folgen.

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References:

[1] Moufang, Die Schnittpunkts?tze des speziellen F?nfecksnetzes in ihrer Abh?ngigkeit voneinander (DasA-Netz), Math. Annalen106 (1932), S. 755-795. · JFM 58.0600.02 · doi:10.1007/BF01455910
[2] Wir beieichnen wie fr?her mitD 9 den speziellen desarguesschen Satz vom Rang 9, bei dem zwei Ecken des einen Dreiecks auf Seiten des anderen Dreiecks liegen. DerD 9 ist ein spezieller Vierseitssatz. Entsprechend bezeichnen wir mitD s den speziellen Desarguesschen Satz vom Rang 8, bei dem alle drei Ecken des einen Dreiecks auf den Seiten des andern Dreiecks liegen.
[3] Moufang, Zur Struktur der projektiven Geometrie der Ebene, Math. Annalen105 (1931), S. 536. · Zbl 0002.40605 · doi:10.1007/BF01455829
[4] Man beweist leicht mit Hilfe vollst?ndiger Induktion, da? jedes Produkt ausn Faktoren (n?3), innerhalb dessen in jedem Aggregat aus drei Faktoren zwei von diesen Faktoren durch eine Klammer von dem dritten getrent sind, insgesamtn?2 Klammern enth?lt, unabh?ngig von der speziellen Zusammenfassung der Faktoren.
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