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Beziehungen zwischen den verschiedenen Zweigen der Topologie. (German) JFM 57.0711.09

S. 141-237 kursiv. Leipzig, B. G. Teubner (Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen, III AB 13) (1931).
Der vorliegende Bericht, der den Teil 1 des Bandes III “Geometrie” der “Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften” zum Abschluß bringt, soll eine Verbindung herstellen zwischen zwei älteren Artikeln der Encyklopädie, die, verschiedenen Bänden angehörend, ebenfalls die Topologie zum Gegenstand haben: dem Artikel III AB 3 von Dehn und Heegaard über kombinatorische Topologie (1907; F. d. M. 38, 510 (JFM 38.0510.*)-511) und dem Artikel II C 9a von Zoretti und Rosenthal über Punktmengen (1924; F. d. M. 50, 176 (JFM 50.0176.*)), in dem insbesondere über \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeiten und über allgemeine Topologie referiert wird. Während die Encyklopädie entsprechend den Absichten ihrer Begründer sich im allgemeinen die Aufgabe gestellt hat, den Stand der mathematischen Wissenschaften um die Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert darzustellen, ist diese Beschränkung mit Rücksicht auf die großen Fortschritte, die gerade in der Topologie in den ersten drei Jahrzehnten des neuen Jahrhunderts erzielt worden sind und die eine hinreichende Klärung der wichtigsten Begriffe erst ermöglicht haben, hier fallen gelassen worden. So verfolgt dieser Artikel auch das Ziel, das neuere Schrifttum zu berücksichtigen, jedoch immer unter dem Gesichtspunkt, inwiefern es Beziehungen zwischen den verschiedenen Zweigen der Topologie hergestellt oder, wie die Dimensionstheorie, zur Klärung des allgemeinen Raumbegriffs beigetragen hat.
Der Artikel ist zunächst von dem erstgenannten Verf. allein, später gemeinsam mit dem zweitgenannten bearbeitet worden. Besondere Mitarbeit haben ferner L. E. J. Brouwer, der wichtige Teile des Artikels mit dem zweitgenannten Verf. gründlich durchgesprochen, und H. Kneser geleistet, der dem erstgenannten Verf. über schwer zugängliche ausländische Veröffentlichungen berichtet hat. Inhaltsübersicht: 1. Einleitung. I. Punktmengen in \(n\)-dimensionalen Räumen: 2. Limiten in Punktmengen eines \(\mathfrak R^n\). 3. Umgebungen, Abstände und Häufungspunkte in Punktmengen eines \(\mathfrak R^n\). 4. Allgemeinere topologische Gebilde. 5. Übergang zur allgemeinen Topologie.
II. Allgemeine Topologie: 6. Limesräume. 7. Räume mit Festsetzungen über Häufungspunkte. 8. Räume mit Umgebungsbeziehungen. 9. Fundamentalsysteme von Umgebungen. 10. Andere Fassungen des Begriffs des topologischen Raumes. 11. Teilräume. 12. Abzählbarkeitsaxiome. 13. Trennbarkeitsaxiome. 14. Vollständigkeitseigenschaften topologischer Räume. 15. Beziehungen zwischen den verschiedenen Arten allgemeiner Räume. 16. Metrische Räume. Gleichmäßige Stetigkeit. 17. Metrisation. 18. Metrische Vollständigkeit. 19. Topologie im Kleinen. Überlagerungsräume. 20. Herstellung neuer topologischer Räume aus gegebenen. 21. Zerlegungsräume. 22. Heftung topologischer Räume.
III. \(n\)-dimensionale Topologie: 23. Vorbemerkungen. Homogene \(n\)-dimensionale Gebilde. 24. Homogene 2-dimensionale Mannigfaltigkeiten. 25. Beschreibung des Zellaufbaus einer \(\mathfrak M^2\). 26. Homogene \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeiten. 27. Beschreibung des Zellaufbaus einer \(\mathfrak M^n\). 28. Entstehung des besprochenen Mannigfaltigkeitsbegriffes. 29. Allgemeinere Zellen und Zellenaufbauten. 30. Berandete Mannigfaltigkeiten, \(n\)-dimensionale Komplexe. 3l. Topologische Invarianz der Dimensionszahl. 32. Homöomorphie der Flächen. 33. Weitere Untersuchungen der \(n\)-dimensionalen Topologie.
IV. Kombinatorische Topologie: 34. Problem einer kombinatorischen Topologie. 35. Kombinatorische Zellsysteme. 36. Verwandtschaft von Zellsystemen. 37. Eine Hypothese. 38. Neuere kombinatorische Theorien. 39. Kombinatorische und \(n\)-dimensionale Topologie. 40. Anwendung der kombinatorischen auf die allgemeine Topologie.
V. Der Dimensionsbegriff: 41. Allgemeines. 42. Kurven.