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Untersuchungen über einige unendliche diskontinuierliche Gruppen. (German) JFM 57.0151.01

Verf. beweist zuerst, daß die Automorphismengruppe der Gruppe des Listingschen Knotens durch die von Dehn (Math. Ann. 75 (1914), 402-413) angegebenen Automorphismen geliefert wird. Ferner löst er das Identitätsproblem für die Gruppen mit zwei Erzeugenden \(a\) und \(b\) und der einzigen definierenden Relation \[ a^{\alpha_1} b^{\beta_1} a^{\alpha_2} b^{\beta_2} = 1. \] Schließlich wird bewiesen, daß jede Untergruppe der Modulgruppe eine freie invariante Untergruppe enthält, deren Faktorgruppe zyklisch von der Ordnung 1, 2, 3 oder 6 ist. Dazu wird gezeigt, daß die Kommutatorgruppe der Modulgruppe die freie Gruppe von zwei Erzeugenden ist; hieraus folgt übrigens, daß sich jede freie Gruppe von endlich oder abzählbar unendlich vielen Erzeugenden durch (angebbare) Elemente aus der Modulgruppe realisieren läßt. Die Methode beruht auf einer kunstvollen Ausnutzung der Tatsache, daß man durch “abelsch machen”, d. h. durch Übergang zur Faktorgruppe der Kommutatorgruppe, zu übersichtlichen, greifbaren Resultaten gelangt; vgl. den Beweis des “Freiheitssatzes” von Verf. (1930; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 134-135).

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References:

[1] M. Dehn, Über die beiden Kleeblattschlingen, Math. Annalen75 (1914), S. 412. · doi:10.1007/BF01563732
[2] Bis auf einen Faktor {\(\pm\)}1.
[3] O. Schreier, Die Untergruppen der freien Gruppen. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität5, Leipzig 1927, S. 161 ff. · JFM 53.0110.01 · doi:10.1007/BF02952517
[4] Siehe H. Gieseking, Analytische Untersuchungen über topologische Gruppen, Dissertation, Münster 1912. · JFM 43.0202.03
[5] Crelles Journal163 (1930), S. 141.
[6] Zum Beweise vgl. § 5. Die Sätze 3 und 4 lassen sich z. B. auch sofort aus allgemeinen Sätzen von K. Reidemeister und O. Schreier herleiten; vgl. K. Reidemeister, Knoten und Gruppen, § 1, Abh. aus d. math. Seminar d. Hamb. Universität5, 1927, S. 8 ff.; O. Schreier, loc. cit. Untergruppen der freien Gruppen. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität5, Leipzig 1927, S. 161 ff.
[7] Siehe M. Dehn,loc. cit.. (Anmerkung 1). · doi:10.1007/BF01563732
[8] Jedem Automorphismus vonG entspricht in jeder fürG charakteristischen Gruppe ein Automorphismus dieser Gruppe; wir sagen, dieser sei von jenem ?induziert?.
[9] Siehe J. Nielsen, Die Isomorphismen der allgemeinen, unendlichen Gruppe mit zwei Erzeugenden, Math. Annalen78 (1918), S. 393.
[10] Die Reduktion unserer Aufgabe auf die diophantische Gleichung (1) ? und damit auch die ganzen folgenden zahlentheoretischen Betrachtungen ? sind natürlich bedingt durch die Art der Darstellung unserer Gruppe durch die zweckmäßig gewählten Erzeugendenu undv.
[11] Vgl. z. B.: F. Klein, Vorles. üb. d. Theorie der elliptischen Modulfunktionen, herausgeg. von R. Fricke, Bd. 2 (Leipzig 1892), S. 161 f. Dort werden nur Substitutionen der Determinante +1 betrachtet; das bedingt gegenüber dem Obenstehenden eine geringe Abweichung.
[12] Siehe J. Nielsen,loc. cit., S. 393, Gl. (11).
[13] Wegen der topologischen Begriffe siehe M. Dehn,loc. cit., Die dort erwähnten Längskurven begrenzen im Außenraum. · doi:10.1007/BF01563732
[14] O. Schreier, loc. cit., s. Anm. 3.. · JFM 53.0110.01 · doi:10.1007/BF02952517
[15] Siehe § 1.
[16] Verallgemeinerung dieses Begriffs auf freies Produkt mit vereinigten Untegruppen von mehr als zwei Gruppen und entsprechende Verallgemeinerung des zugehörigen Satzes über die Lösbarkeit von Identitätsproblemen liegen auf der Hand.
[17] a, b sind Erzeugende,R (a, b)=1 ist definierende Relation vonG.
[18] und nach Einführung neuer primitiver Elemente; man setzt erstb=t ? und führt dann, statta undt, als neue Erzeugendes=a t ? undt ein.
[19] Die natürlich von ? abhängen.
[20] Fallsm=1, treten keine Relationen mehr auf; man ist also fertig.
[21] Fallsm=2, ist man damit fertig.
[22] Den Erzeugendena bzw.b entsprechen die linearen Substitutionenz?=?1/z bzw.z?=?1/z+1 einer Variablenz.
[23] Natürlich gehören auch Worte, die nicht ina undb die Exponentensumme Null haben, zuC; aber diese Worte lassen sich durch die definierenden Relationen vonG stets in Worte verwandeln, die ina undb die Exponentensummen Null haben, z. B. gehört (ab)6=(ab)6 a ?6 b ?6 zuC.
[24] Das eben benutzte Verfahren dient auch dazu, Satz 4 von § 2 aus Satz 1 und 3 von § 2 abzuleiten.
[25] O. Schreier, Die Untergruppen der freien Gruppen, Abh. aus dem Math. Seminar d. Hamburgischen Universität5, S. 161, Leipzig 1927. · JFM 53.0110.01 · doi:10.1007/BF02952517
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