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Evaluation de la classe borélienne ou projective d’un ensemble de points à l’aide des symboles logiques. (French) JFM 57.0092.05

Die Definition einer gegebenen Menge \(M\) wird (mittels einer schon in der vorstehenden Arbeit verwendeten Schreibweise) durch logische Symbole dargestellt, und diese Formel wird dann nach bestimmten Regeln übersetzt und ausgewertet. Dies führt zu einer Beurteilung der Borelschen bzw. projektiven Klasse von \(M\). Zwar wird dadurch im allgemeinen nicht die niedrigste dieser Klassen, der \(M\) angehört, geliefert; aber trotzdem gelangt der Verf. durch seine Methode bei den meisten seiner Anwendungen bereits zu den bestmöglichen Aussagen. Verf. gewinnt durch seine Methode in einheitlicher und einfacher Weise eine Fülle von Resultaten wieder, die eine Reihe von andern Autoren mittels ganz verschiedenartiger Überlegungen gefunden hatte. Vielfach werden bisher nur in speziellen Räumen bekannte Resultate auf umfassendere Räume verallgemeinert; die Betrachtungen des Verf. gelten nämlich für vollständige, separable (teilweise auch als kompakt vorausgesetzte) metrische Räume \(R\). In einigen Fällen werden auch ganz neue Ergebnisse gewonnen. Von den überaus zahlreichen und verschiedenartigen Anwendungen der Methode seien hier nur einige hervorgehoben (wobei also jedesmal die Bestimmung der Borelschen bzw. projektiven Klasse erfolgt): die Menge der geradlinig (bzw. topologisch) erreichbaren Punkte einer gegebenen Menge; die Lusinschen Siebe; die kleinsten linearen Mengen eines Vektorraumes, die eine gegebene Menge enthalten; die Familie der perfekten bzw. der abzählbaren Teilmengen oder der Kontinua von \(R\); die Familie der unzerlegbaren Kontinua; die Familie der Schnitte von \(R\); die Familie der konvergenten bzw. der in sich dichten Folgen von \(R\); die Familie der stetigen Kurven von \(R\); sowie (nach Banach) die Familie der in eine Orthogonalreihe entwickelbaren stetigen Funktionen. (I 2.)

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Full Text: DOI EuDML