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Ein Beweis des Brouwerschen ebenen Translationssatzes. (German) JFM 56.1131.03

Der ebene Translationssatz L. E. J. Brouwers (Math. Ann. 72 (1912), 37-54; F. d. M. 43, 569 (JFM 43.0569.*)) besagt: Ist \(T\) eine fixpunktfreie eineindeutige stetige, die Indicatrix erhaltende Abbildung der Ebene auf sich, so läßt sich durch jeden Punkt der Ebene ein “Translationsfeld” konstruieren, d. h. ein von zwei einfachen offenen Linien (eineindeutigen stetigen und abgeschlossenen Bildern einer Geraden) begrenzter Streifen, der zu seinem Bild fremd ist und dessen beide Begrenzungslinien durch \(T\) bzw. \(T^{-1}\) ineinander übergehen.
Hilfsmittel zum Beweis sind:
(1) der von Brouwer übernommene und hier nicht bewiesene “Bahnkurvensatz” (Brouwers Satz 6): Ist \(AB\) ein Stück einer Bahnkurve (d. h. eines solchen eineindeutigen stetigen nicht notwendig abgeschlossenen Bildes einer Geraden, das durch \(T\) in sich transformiert wird) und enthält \(AB\) ein Paar sich bei \(T\) bzw. \(T^{-1}\) entsprechender Punkte im Innern, so muß jeder Bogen, der zusammen mit \(AB\) eine einfach geschlossene Kurve bildet, sein Bild bei \(T\) treffen;
(2) der von Verf. eingeführte Begriff des “kritischen Bereichs”, d. h. eines solchen von einer einfach geschlossenen Kurve begrenzten Bereichs, der mit seinem Bild wenigstens einen Randpunkt, aber keinen inneren Punkt gemeinsam hat. Ein kritischer Bereich \(\mathfrak B\) hat von jedem seiner Bilder \(T^{\pm n}(\mathfrak B)\), \(n \geqq 2\), positiven Abstand.
Der Grundgedanke des (nicht überall korrekt durchgeführten) Beweises besteht darin, kritische Bereiche aneinander zu stücken, einmal derart, daß auf dem Rand der Bereichkette zwei Bahnkurven verlaufen (das leistet ein kritischer Bereich mit seinen iterierten Bildern bei \(T^{\pm n}\)), ein andermal so, daß zwei Bereiche dieser zweiten Kette längs eines Bahnkurvenstückes, das dem Rand einer Kette der erstgenannten Art angehört, aneinander grenzen und auf dem Rand dieser zweiten Kette eine einfache offene Linie verläuft, die mit ihrem Bild bei \(T\) als Begrenzung eines Translationsstreifens brauchbar ist.
Verf. bemerkt, daß seine Konstruktion, ähnlich wie die von Kerékjártó (Acta Szeged 4 (1928), 86-102; F. d. M. 54, 612 (JFM 54.0612.*)), auch bei dem Beweis von Poincarés Fixpunktsatz für den Kreisring angewendet werden kann. Die kritischen Bereiche des Verf. finden auch in zwei neueren Arbeiten von G. Scorza Dragoni “Intorno ad alcuni teoremi sulle traslazioni piane” (Memorie Reale Accad. d’Italia, Roma 4 (1933), 159-212; F. d. M. 59\(_{\text{II}}\)) und E. Sperner “Über die fixpunktfreien Abbildungen der Ebene” (Abhandlungen Hamburg 10 (1934), 1-48; F. d. M. 60) Anwendung.

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