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Sur un théorème de Mordell. (French) JFM 56.1004.02

Der Weilsche Beweis des allgemeinen Basissatzes (1929; JFM 55.0713.*-717) vereinfacht sich ganz bedeutend im speziellen Fall \(p = 1\), der zuerst von Mordell behandelt wurde (1922; F. d. M. 48, 140-141). Es handelt sich um folgenden Satz:
“Seien \(A\) und \(B\) zwei ganze rationale Zahlen, so daß die Nullstellen \(\theta_1, \theta_2, \theta_3\) des Polynoms \(x^3 - Ax-B\) alle voneinander verschieden sind. Wird die Kurve \(C\): \[ y^2 = x^3 - Ax - B \] uniformisiert durch die Weierstraßschen Funktionen \[ x = \wp (u), \;y=\tfrac{1}{2}\wp'(u), \] wobei \(\wp\) und \(\wp'\) zu den Invarianten \(g_2 = 4A\), \(g_3 = 4B\) gehören, so sind die elliptischen Argumente \(u\) aller rationalen Punkte \((x, y)\) auf \(C\) von der Form \[ u = n_1u_1 + n_2u_2 + \cdots + n_su_s, \] wobei \(u_1, u_2,\ldots,u_s\) endlichviele Punkte auf \(C\) bedeuten und \(n_1, n_2,\ldots, n_s\) einzeln alle ganzen rationalen Zahlen durchlaufen.”
Beweis: Schritt 1: Man zeigt leicht, daß die rationalen Punkte \((x, y)\) auf \(C\) die spezielle Form \(\left(\dfrac{X}{Z^2}, \dfrac{Y}{Z^3}\right)\) haben, wobei \(X, Y, Z\) ganz rational sind und \(Z\) teilerfremd zu \(X\) und \(Y\) ist. Aus der algebraischen Teilerfremdheit der beiden Polynome \(x - \theta_i\) und \(\dfrac{x^3-Ax-B}{x - \theta_i}\) (\(i= 1,2,3\)) und dieser Darstellung für die Koordinaten \(x\), \(y\) folgt weiter, daß in allen rationalen Punkten die drei “Wurzelfunktionen” \[ \wp (u) - \theta_i = x - \theta_i = \dfrac{X}{Z^2}-\theta_i \qquad (i=1,2,3) \] sich in der Form \[ x - \theta_i = \mu_i\alpha_i^2 \qquad (i=1,2,3) \] schreiben lassen, wo \(\mu_i\) und \(\theta_i\) für \(i = 1, 2, 3\) in dem durch \(\theta_i\) erzeugten Zahlkörper \(k(\theta_i)\) liegen, und \(\mu_1,\mu_2,\mu_3\) einzeln nur endlich vieler verschiedener Werte fähig sind. Man werfe nun zwei rationale Punkte \(u, v\) auf \(C\) in die gleiche Klasse, wenn für sie \(\mu_1,\mu_2,\mu_3\) der Reihe nach übereinstimmen, und schreibe dann \(u \infty v\); insbesondere \(u \infty 0\), wenn \(\mu_1,\mu_2,\mu_3\) gleich Eins sind, d. h. alle Wurzelfunktionen Quadrate werden. Das Additionstheorem \[ \wp (u+v) - \theta_i = \dfrac{1}{(\wp (u) - \theta_i)(\wp (v) \theta_i)}\left(\dfrac{\wp'(v)(\wp (u)-\theta_i) - \wp'(u)(\wp (v) \theta_i)}{2(\wp (u)-\wp (v))}\right)^2 \] und das Dublikationstheorem \[ \wp (2u) - \theta_i = \left(\dfrac{\wp (u)^2 + A - 2\theta_i\wp (u) - 2\theta_i^2}{\wp'(u)}\right)^2 \] der elliptischen Funktionen zeigt, daß \(u \infty v\) und \(u' \infty v'\) zu \(u+u' \infty v+v'\) und \(u+v \infty 0\) führt, und daß für jeden rationalen Punkt \(u\) die Formel \(2u \infty 0\) erfüllt ist. Die Klassen bilden also bei Addition eine endliche Abelsche Gruppe, in der jedes Element genau von der Ordnung 2 ist. Umgekehrt zeigt man leicht, daß jeder rationale Punkt \(u\) der Hauptklasse \(u \infty 0\) ein Argument \(u = 2u'\) haben muß, wo auch \(u'\) ein rationaler Punkt ist.
Schritt 2: Seien nun zwei rationale Punkte \(u=\left(\dfrac{x}{z^2}, \dfrac{y}{z^3}\right)\) und \(U = \left(\dfrac{X}{Z^2},\dfrac{Y}{Z^3}\right)\) auf \(C\) durch die Gleichung \(U+a = 2u\) miteinander verbunden, wo \(a = \left(\dfrac{l}{n^2}, \dfrac{m}{n^3}\right)\) ein fester rationaler Punkt ist; der Punkt \(2u = U+ a\) habe ferner die Koordinaten \(\left(\dfrac{x_1}{z_1^2}, \dfrac{y_1}{z_1^3}\right)\) . Alle Zähler und Nenner dieser Koordinaten seien ganze rationale Zahlen und die Nenner jedesmal zu den Zählern teilerfremd. Sei zur Abkürzung \[ \xi = \max (|x|,|z|^2), \;\xi_1 = \max (|x_1|, |z_1|^2), \;\Xi = \max (|X|, |Z|^2). \] Das Additionstheorem für \(\wp (U+a)\) ergibt die Gleichung \[ \dfrac{x_1}{z_1^2} = \dfrac{(lX - An^2Z^2)(n^2X+lZ^2) - 2Bn^4Z^4 2mnYZ}{(n^2X - lZ^2)^2} \] und demnach die Abschätzung \[ \xi_1 < c_1\Xi^2, \] wobei die positive Zahl \(c_1\) nur vom Punkte \(a\) abhängt. Entsprechenderweise führt die Formel für \(\wp (2u)\) zu den Gleichungen \[ \sqrt{x_1 - \theta_iz_1^2} = \dfrac{z_1}{2yz}(x^2+Az^4 2\theta_ixz^2 - 2\theta_i^2z^4) \qquad (i=1,2,3), \] und also zu der Ungleichung \[ \xi < c_2\xi_1^\frac{1}{4}, \] wo auch \(c_2\) eine positive Zahl bedeutet, die nur von a abhängt. Also besteht die Ungleichung \[ \xi < c_2c_1^\frac{1}{4}\Xi^\frac{1}{2}. \]
Schritt 3: In jeder der endlichvielen Klassen werde jetzt ein rationaler Punkt ausgewählt; man erhält so das Repräsentantensystem \[ a_1,a_2,\ldots,a_h \] für die Gesamtheit der Klassen. Zu jedem rationalen Punkt \(u_0\) auf \(C\) bestimme man nun eine Folge von solchen Repräsentanten \(a_{i_0}, a_{i_1}, a_{i_2},\ldots\) und rationalen Punkten \(u_0, u_1, u_2,\ldots,\) so daß \[ a_{i_0}\infty u_0, u_0+a_{i_0} = 2u_1, a_{i_1}\infty u_1, u_1+a_{i_1} = 2u_2, a_{i_2}\infty u_2, u_2+a_{i_2} = 2u_3,\ldots \] ist. Ist dann etwa \(u_\nu = \left(\dfrac{x_\nu}{z_\nu^2}, \dfrac{y_\nu}{z_\nu^3}\right)\) mit teilerfremden ganzen rationalen Zählern und Nennern, so zeigt die vorige Überlegung, daß die Maxima \[ \xi_\nu = \max (|x_\nu|, |z_\nu|^2) \qquad (\nu = 0,1,2,\ldots ) \] einer Rekursionsungleichung \[ \xi_{\nu +1} < c_3\xi_\nu^\frac{1}{2} \qquad (\nu = 0,1,2,\ldots ) \] mit absolut konstantem \(c_3 > 0\) genügen; von einem \(\nu\) ab ist also \(\xi_\nu\) unterhalb einer festen Schranke, und somit kann dann \(u_\nu\) nur noch einer von endlich vielen festen rationalen Punkten sein; das macht den Beweis vollständig. (III 9, IV 6 D, V 5 C.)

Citations:

JFM 55.0713.*
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