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Application de l’intégrale de Lebesgue au problème de la représentation d’une aire simplement connexe sur un cercle. (French) JFM 56.0983.02

Annales Soc. Bruxelles 50 (A), 23-34 (1930).
Das Problem der Ränderzuordnung bei der konformen Abbildung eines schlichten einfach zusammenhängenden Bereiches \(A\) auf den Kreis \(C\) ist seit den Arbeiten von Carathéodory, Koebe und Lindelöf weitgehend geklärt. Dieses Problem wird nun in der vorliegenden Arbeit durch Anwendung des Lebesgueschen Integralbegriffes von einer andern Seite her beleuchtet. Ausgangspunkt ist das Lebesguesche Integral \[ \int\limits_0^1 |\varphi'(re^{\theta i})|dr, \] das für fast alle \(\theta\) zwischen 0 und \(2\pi\) endlich ist und die Länge \(l(\theta)\) der von \(z\) in \(A\) beschriebenen Kurve darstellt, wenn \(\zeta\) im Kreise \(C\) den Radius vom Argument \(\theta\) beschreibt. Dabei ist \(z=\varphi(\zeta)\) die Abbildung des Einheitskreises \(C\) auf das Gebiet \(A\) und \(0=\varphi(0)\). Die Radien, die zu \(\theta\)-Werten gehören, für die \(l(\theta)\) endlich ist, nennt Verf. normale Radien und ihre Endpunkte auf der Kreisperipherie normale Randpunkte. Verf. untersucht mit Hilfe dieser Begriffe den Spezialfall, daß die Fläche \(A\) von einer Jordankurve begrenzt ist, und den allgemeinen Fall eines beliebigen Randes und erhält zum Teil neue, zum Teil wohlbekannte Resultate über das Ränderproblem.