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Über maximale nilpotente Unterringe und Nilringe. (German) JFM 56.0867.03

In seiner ersten Arbeit über die Einheitengruppe eines endlichen Ringes bewies \(K\). Shoda die folgenden beiden Sätze (1929; F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 678): Gilt in einem (nicht notwendig endlichen) Ringe mit Einheitselement der Doppelkettensatz für Rechtsideale, so ist der Durchschnitt aller maximalen nilpotenten Unterringe gleich dem maximalen nilpotenten Ideal des Ringes; in einem endlichen Ringe mit Einheitselement sind die maximalen nilpotenten Unterringe miteinander konjugiert. Die Resultate seiner Arbeit über die Struktur der Ringe, deren Restklassenring nach dem Radikal vollständig reduzibel ist (M. Z. 32 (1930), 161-186; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 143), verwendet Verf. hier zu einer Ausdehnung der Shodaschen Resultate auf allgemeinere Ringe unter Verwendung des umfassenderen Begriffes des Nilringes. Darunter versteht man einen Ring, der nur aus nilpotenten Elementen besteht, ohne deshalb notwendig selbst nilpotent zu sein. Der Durchschnitt aller maximalen Nilringe eines Ringes, dessen Restklassenring nach dem Radikal vollständig reduzibel ist, ist das Radikal des Ringes, in genauer Verallgemeinerung des ersten Shodaschen Satzes. Die Verallgemeinerung des zweiten Shodaschen Satzes führt zu den folgenden Sätzen: Zwei maximale Nilringe eines Ringes \(\mathfrak o\) mit Einheitselement, dessen Restklassenring nach dem Radikal \(\mathfrak c\) vollständig reduzibel ist, sind miteinander konjugiert, wenn ihr Restklassenring in \(\mathfrak o/\mathfrak c\) maximal nilpotent ist. Alle maximalen nilpotenten Unterringe eines Ringes mit Einheitselement, der den Doppelkettensatz für Rechtsideale erfüllt, sind miteinander konjugiert. Jeder nilpotente Unterring liegt in einem maximalen nilpotenten.

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References:

[1] Math. Annalen102, S. 273, zitiert als S. ? Entsprechend der dortigen Terminologie soll auch im folgenden unter Ideal ohne weiteren Zusatz ein zweiseitiges verstanden werden.
[2] Zitiert als K. Erscheint demnächst in der Math. Zeitschrift.
[3] Die Voraussetzung der Existenz des Einheitselementes, die Herr Shoda macht, ist unnötig.
[4] Vgl. E. Noether, Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie, Math. Zeitschrift30, S. 647 und 669, zitiert als N.
[5] Vgl. N. Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie, Math. Zeitschrift30, S. 649 und S. 654.
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