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JFM 56.0664.02
Bergström, V.
Zwei Sätze über ebene Vektorpolygone. (German)
[J] Abhandlungen Hamburg 8, 206-214 (1930). ISSN 0025-5858; ISSN 1865-8784/e

Verf. hat in einer Arbeit (1930; F. d. M. $56_{\text{I}}$, 199) einen Beweis für den {\it Steinitz}schen Satz über die Umordnung einer bedingt konvergenten unendlichen Reihe mit komplexen Gliedern gegeben, bei dem er von einem Hilfssatz über Vektoren Gebrauch macht. Dieser Hilfssatz, der sich in etwas anderer Fassung auch bei {\it Steinitz} findet, lautet: \par Gegeben sind $n$ in einer Ebene liegende Vektoren mit der Summe Null. Diese bilden also aneinander gereiht ein geschlossenes Polygon; bei Änderung der Reihenfolge der Vektoren kann sich das Polygon ändern. Wenn alle Vektoren eine Länge $< 1$ haben, dann kann man die Reihenfolge der Vektoren so wählen, dass das ganze Polygon innerhalb eines Kreises mit dem Radius $k$ liegt, wobei $k$ eine von $n$ unabhängige positive Zahl bedeutet. \par Verf. gibt hier einen Beweis dieses Satzes, wobei er überdies zeigt, dass $k$ den genauen Wert $\sqrt{\dfrac54}$ besitzt. Beim Beweis macht er von den folgenden zwei elementargeometrischen Hilfssätzen Gebrauch: \par (1) Alle Seiten eines Parallellogramms seien $< 1$. Ein beliebiger Punkt im Innern kann dann höchstens von einem einzigen Eckpunkt einen Abstand $> \sqrt{\dfrac54}$ haben. \par (2) Die Strecken $\overline{AB} < 2$ und $\overline{CD} < \dfrac12$ mögen einen Punkt gemein haben. Dann muss mindestens eine der Strecken $\overline{AC}$ oder $\overline{BC}$ kleiner als $\sqrt{\dfrac54}$ sein.
(Data of JFM: JFM 56.0664.02; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Feigl, G.; Prof. (Breslau)]

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