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Sur la conservation d’un réseau conjugué dans la déformation d’une surface. (French) JFM 56.0598.01

In dieser langen und gründlichen Arbeit gibt Verf. eine Zusammenfassung und Ergänzung einer Reihe früher gewonnener Ergebnisse (1928, 1929; F. d. M. 54, 742 (JFM 54.0742.*)-743; \(55_{\text{I}}\); 397, 398). Es handelt sich um eine sehr weitgehende Fortentwicklung der Arbeiten von Bianchi, Peterson, Voß, Cosserat, Demoulin, Drach, Egoroff, Finikoff, Gambier, Goursat, Tzitzeica. Von Finikoff wird der Begriff der “Hauptbasen” übernommen (konjugierte Kurvennetze einer Fläche \(S_0\), welche auf \(\infty^1\) Flächen \(S\), die durch Verbiegung aus \(S\), hervorgehen, konjugiert bleiben im Gegensatz zu einfachen Basen, welche in gleicher Eigenschaft nur für Flächenpaare auftreten), von Bianchi der Begriff der Hilfsflächen (B) (Begleitflächen, deren totaler Krümmung \(K\) in Asymptotenparametern \(u\), \(v\) der Wert: \(-1 : [U(u) + V(v)]^2\) zukommt). Die gesamte Arbeit zerfällt in zwei Abschnitte. Der erste Abschnitt enthält fünf Paragraphen. Von ihnen enthält: §1 die Untersuchung eines gemeinsamen konjugierten Netzes zweier Biegungsflächen; §2 die Bestimmung aller Flächenpaare mit doppelt konischer Basis (die längs der Basiskurve umschriebene Torse ist ein Kegel oder ein Zylinder); §3 Flächenpaare, welche der Laplaceschen Gleichung entspringen; §4 die Untersuchung des Petersonschen Parallelismus; §5 konforme Transformationen im Raum von sechs und acht Dimensionen und die Bestimmung weiterer Biegungspaare aus einem ersten Paar.
Der zweite Abschnitt umfaßt sieben Paragraphen: §1. Historischer Bericht. §2. Neue Formulierung des allgemeinen Problems; asymptotische Transformation der Bianchischen Begleitflächen (B) im Verlauf der Deformation; Invarianz der (Tangential-)Gleichung von Laplace. §3. Bestimmung der Flächen von Bianchi, welche auf Drehflächen abwickelbar sind. §4. Untersuchung von Hauptbasen, welche eine Schar geodätischer Linien enthalten. §5. Beispiel für eine einfache Maßbestimmung (\(ds^2\)), für welche \(\infty^1\) Hauptbasen existieren (Evolutenflächen von Minimalflächen). §6. Eingehende Untersuchung der Laplaceschen Gleichung (in Punkt- und Ebenenkoordinaten). §7. Berichtigung eines Irrtums von Egoroff und Masloff.

Citations:

JFM 54.0742.*
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