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Cycles orthogonaux à une même sphére. Congruences et opérations paratactiques. Applications. (French) JFM 56.0569.02

Gegeben ist die Kugel \(\varSigma: x^2 +y^2 + z^2 + 1 = 0\) um den Nullpunkt \(O\) im dreidimensionalen Raum. Es werden zu \(\varSigma\) orthogonale Zyklen betrachtet, d. h. reelle orientierte Kreise, deren Ebenen durch \(O\) gehen, und die zu der negativen Inversion mit dem Pol \(O\) und der Potenz – 1 orthogonal sind. Man kann jeden solchen Zyklus \(C\) durch ein System von zwei Punkten \((a, \alpha)\) der Einheitskugel \(\varSigma\) repräsentieren; dabei denkt man sich \(\varSigma'\) aus zwei Blättern gebildet, dem “römischen”, auf dem \(a\) liegt, und dem “griechischen”, auf dem \(\alpha\) liegt. Umgekehrt kann man jedem solchem System von zwei Punkten \((a,\alpha)\) von \(\varSigma\) einen Zyklus zuordnen. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß zwei Zyklen \(C_1, C_2\) cosphärisch sind, ist, daß fur ihre Bilder bei der obigen Repräsentation gilt \(\overset{\frown}{a_1a_2} = \overset{\frown}{\alpha_1\alpha_2}\); der Winkel der beiden Zyklen wird durch diesen gemeinsamen sphärischen Abstand gemessen. Zwei Zyklen \(C_1, C_2,\) deren “römische” Bilder \(a_1, a_2\) zusammenfallen, heißen parataktische Zyklen erster Art, zwei Zyklen, deren römische Bilder diametral sind, antitaktische Zyklen erster Art; analog werden mit Hilfe der “griechischen” Bilder \(\alpha_\nu\) parataktische und antitaktische Zyklen zweiter Art definiert. Ein beliebiger römischer Punkt \(a\) ist das Bild einer römischen parataktischen Kongruenz, die man erhält, indem man \(\alpha\) ad libitum variiert. Der Diametralpunkt \(a'\) von \(a\) ist das Bild derselben Kongruenz, wo der Sinn jedes Zyklus umgekehrt worden ist; so sind die \(\infty^2\) römischen parataktischen Kongruenzen orientierbar. Dasselbe gilt für die \(\infty^2\) griechischen parataktischen Kongruenzen. Zwei orientierte Kongruenzen verschiedener Art haben genau einen Zyklus gemein. Die Operationen der konformen Gruppe, welche eine gegebene negative Inversion invariant lassen, führen jede parataktische Kongruenz wieder in eine parataktische Kongruenz über; sie lassen sich aus einigen einfachen Operationen kombinieren. Es folgen Anwendungen.
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