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Ein Knotensatz mit Anwendung auf die Dimensionstheorie. (German) JFM 56.0503.04

Jedes einfach geschlossene Polygon \(p\) im dreidimensionalen euklidischen Raum \(R^3\) ist Rand eines singularitätenfreien orientierbaren Flächenstücks \(M^2\). Man erhält ein \(M^2\), indem man von einem (zu \(p\) in allgemeiner Lage befindlichen) Punkt \(\varPi\) den Kegel an \(p\) legt, längs der Doppelerzeugenden aufschneidet und passend wieder zusammenheftet und schließlich die Singularität an der Spitze (Selbstberührung) beseitigt. Der Prozeß laut sich leicht zur Konstruktion beliebig vieler bis auf den gemeinsamen Rand \(p\) zueinander fremder \(M^2\) erweitern (Konstruktion von Nachbarflächen). Daraus folgt weiter: Ist im Innern eines Zylinders endlicher Länge ein Polygonzug \(p\), der die Mittelpunkte der Grund- und Deckkreise verbindet, gegeben, und sind ferner gewisse zueinander fremde Polygonzüge \(p_1, \ldots,p_n\), deren jeder die Endpunkte von \(p\) auf der Zylinderfläche verbindet, vorgeschrieben, so kann man in die durch \(p + p_\nu\) bestimmten einfach geschlossenen Kurven je ein singularitätenfreies, im Innern des Zylinders gelegenes Flächenstück \(M_\nu^2\) einspannen, so daß die \(M_\nu^2\) bis auf \(p\) zueinander fremd sind.
Dieses Resultat führt nun zum Beweis der Übereinstimmung der Brouwer-Menger-Urysohnschen und der Alexandroffschen Dimensionsdefinition für kompakte Teilmengen des \(R^3\). Dazu hat man zu zeigen, daß eine in sich kompakte Menge \(F\) des \(R^3\), die im \(R^3\) kein Gebiet zerlegt, auch im Sinne der Brouwer-Menger-Urysohnschen. Definition höchstens eindimensional ist. Der Nachweis gelingt, indem man mit Hilfe der angegebenen Zerlegung des Zylinderinnern, ausgehend von einer hinreichend fernen Triangulation des \(R^3\), eine Zerlegung des \(R^3\) in dreidimensionale berandete Mannigfaltigkeiten \(U_\nu\) von beliebig kleinem Durchmesser herstellt, so daß die auf dem Rande der \(U_\nu\) gelegeneu Punkte von \(F\) stets nur zur gemeinsamen Begrenzung von höchstens zwei \(U_\nu\) gehören. Die Zerlegung \[ F = \sum _\nu F\cdot U_\nu \] zeigt, daß nach dem Pflastersatz \(F\) im Brouwer-Menger-Urysohnschen Sinne höchstens eindimensional ist.

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Full Text: DOI EuDML

References:

[1] Alexandroff, ”Zum allgemeinen Dimensionsproblem”, Göttinger Nachrichten 6. Juli 1928, § 3, sowie ”Untersuchungen über Gestalt und Lage abgeschlossener Mengen”, Annals of Math. (2)30, S. 101–187, insbes. S. 183 u. f. · JFM 54.0609.02
[2] Der Satz über die Polygone und die beiden darauf folgenden Lemmata wurden von beiden verfassern unabhängig voneinander gefunden. Im folgenden wird die Franklsche Form des Beweises weidergegeben. Der dimensionstheoretische Satz stammt von Pontrjagin.
[3] Diese Methode der Approximation durch Mannigfaltigkeiten stammt von Alexandroff, Math. Annalen98 (1928), S. 623, und Lefschetz, Ann. of Math. (2)29 (1928), S. 241.
[4] Alexandroff, Gött. Nachr., § 5; Annals, S. 184.
[5] Annals, S. 183; Gött. Nachr., § 4.
[6] Die Frage nach der Gültigkeit dieses Satzes wurde bereits von Urysohn, Fund. Math. 7, aufgeworfen.
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