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Sur les fonctions qui satisfont à la condition (\(N\)). (French) JFM 56.0231.02

Verf. konstruiert eine auf \(\langle 0,1\rangle\) stetige Funktion \(f(x)\), die auf \(\langle 0,1\rangle\) der Bedingung \((N)\) von Lusin und sogar der Bedingung \((S)\) von Banach genügt, während die Summe aus \(f(x)\) und aus einer willkürlichen nicht konstanten linearen Funktion nicht der Bedingung \((N)\) genügt. Dabei haben die Bedingungen \((N)\) und \((S)\) folgende Bedeutung: \(f(x)\) genügt der Bedingung \((N)\), wenn die Menge der Werte, die \(f(x)\) auf einer beliebigen Menge vom Lebesgueschen Maße Null annimmt, selbst vom Lebesgueschen Maße Null ist; \(f(x)\) genügt der Bedingung \((S)\), wenn zu jedem \(\varepsilon > 0\) ein \(b > 0\) so existiert, daß die Menge der Werte von \(f(x)\) auf jeder Menge vom Lebesgueschen Maß \(< \delta\) ein Maß \(< \varepsilon\) hat.
Die Konstruktion eines etwas weniger leistenden Beispiels – \(f(x)\) genügt \((N)\), \(f(x)+ x\) genügt nicht \(N\) – hat Verf. schon in einem Vortrag vor der Société Polonaise de Mathématique mitgeteilt (vgl. F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 157). Lebesgue hat (Rendiconti Accad. d. L. Roma \(16_{\text{1}}\) (1907), 283-290; F. d. M. 38, 426 (JFM 38.0426.*)) zwei Funktionen konstruiert, deren jede \((N)\), deren Summe aber nicht \((N)\) genügt.

Citations:

JFM 38.0426.*
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