Kolmogoroff, A. Sur la notion de la moyenne. (French) JFM 56.0198.02 Rendiconti Accad. d. L. Roma (6) 12, 388-391 (1930). Verf. stellt sich die Aufgabe, für die üblichen elementaren Mittelbildungen (z. B. arithmetisches, geometrisches, harmonisches, quadratisches Mittel) eine zusammenfassende Definition zu geben. Er bezeichnet das Mittel von \(x_1,x_2,\dots,x_n\) durch \(M(x_1,x_2,\dots,x_n)\) und fordert, daß es folgende vier Eigenschaften besitzt: (1)\(M(x_1,x_2,\dots,x_n)\) ist stetig und für jede Variable \(x_i\) einzeln wachsend. (2)\(M(x_1,x_2,\dots,x_n)\) ist symmetrisch. (3)\(M(x,x,\dots,x) = x\). (4)\(M(x_1,x_2,\dots,x_m,y_1,y_2,\dots,y_n)=M(x,x,\dots x,y_1,y_2, \dots,y_n)\), wobei \(x=M(x_1,x_2,\dots x_m)\). Verf. beweist, daß jede diesen vier Eigenschaften genügende Mittelbildung von der Form \[ M(x_1,x_2,\dots,x_n) = \psi \left\{ \frac{\varphi(x_1)+\varphi(x_2) +\cdots+\varphi(x_n)}{n} \right\} \]ist, wobei \(\varphi(x)\) eine stetige wachsende Funktion und \(\psi(x)\) die Umkehrungsfunktion von \(\varphi(x)\) bedeutet. Vgl. die Arbeit von E. V. Huntington (1927; F.d.M. 53, 69 (JFM 53.0069.*)-70), in der jede der vier elementaren Mittelbildungen einzeln durch charakteristische Eigenschaften definiert ist, und die dort zitierte Arbeit von R. Schimmack (1909; F.d.M. 40, 285 (JFM 40.0285.*)). Reviewer: Feigl, G., Prof. (Breslau) Cited in 9 ReviewsCited in 103 Documents JFM Section:Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 1. Grundlagen und Allgemeines. Citations:JFM 53.0069.*; JFM 40.0285.* PDFBibTeX XMLCite \textit{A. Kolmogoroff}, Atti Accad. Naz. Lincei, Rend., VI. Ser. 12, 388--391 (1930; JFM 56.0198.02)