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Über die Wertverteilung bei ganzzahligen Polynomen. (German) JFM 56.0112.01

(I) Unter Benutzung eines Satzes von I. Schur [Math. Z. 1, 377–402 (1918; JFM 46.0128.03)] und eines Satzes von R. Jentzsch [Arch. Math. Phys. (3) 25, 196 (1917)]. Vgl. auch M. Fekete [Deutsche Math.-Ver. 31, 42–48 (1922; JFM 48.0085.02)] wird bewiesen: Ist \[ p(x)=x^k+a_1x^{k-1}+ \cdots +a_k \tag{1} \] ein normiertes ganzzahliges Polynom und \(I\) ein reelles Intervall, dessen Länge \(< 4\) ist, so gibt es höchstens vier Zahlen g, für die die Gleichung \[ P(x) = g \tag{2} \] sämtliche Wurzeln in \(I\) hat. Gibt es solche Zahlen, so müssen sie aufeinander folgende ganze Zahlen \(g\), \(g+1\), \(g+2\), \(g+3\) sein.
(II) Verlangt man statt der Schurschen Voraussetzung, daß die Wurzeln der Gleichung (1) in einer abgeschlossenen, beschränkten, konvexen Punktmenge \(\mathfrak K\) liegen, deren transfiniter Durchmesser \(<1\) ist, so erhält man unter Benutzung eines Satzes von Verf. [Math. Z. 17, 228–249 (1923; JFM 49.0047.01)] folgende Erweiterung von (I):
Es gibt höchstens vier ganze Zahlen \(g\), für die die Gleichung (2) sämtliche Wurzeln in \(\mathfrak K\) hat; wenn diese Zahlen existieren, müssen sie vier auf einander folgende ganze Zahlen sein.

MSC:

12D10 Polynomials in real and complex fields: location of zeros (algebraic theorems)
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Full Text: DOI EuDML