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Gleichungen ohne Affekt. (German) JFM 56.0110.02

D. Hilbert (1892; F. d. M. 24, 87 (JFM 24.0087.*)-88) hat zuerst mit Hilfe seines Irreduzibilitätssatzes bewiesen, daß für jeden Grad \(n\) ganzzahlige Gleichungen existieren, deren Galoissche Gruppe die symmetrische bzw. die alternierende Permutationsgruppe ist. Für die erste Gleichungsgattung, die sogenannten affektlosen Gleichungen, sind dann wiederholt einfache Beispiele konstruiert worden, so von M. Bauer, I. Schur, Ph. Furtwängler und O. Perron. Hingegen war für ganzzahlige Gleichungen mit alternierender Permutationsgruppe als Galoisscher Gruppe bisher nur der Hilbertsche Existenzsatz bekannt, durch den noch kein Verfahren zur Bildung einfacher Beispiele gegeben wird. Verf. beweist: Die gleich Null gesetzten Laguerreschen Polynome \[ \frac{e^x}{n!}\frac{d^n(x^ne^{-x})}{dx^n}\equiv 1-\binom n 1 \frac{x}{1!}+ \binom n 2 \frac{x^2}{2!}- \ldots + (-1)^n \frac{x^n}{n!}=0 \] sind für jeden Grad \(n\) affektlose Gleichungen. Der \(n\)-te Abschnitt der Exponentialreihe liefert in \[ 1+ \frac x{1!} + \frac {x^2}{2!}+ \cdots + \frac{x^n}{n!}=0 \] für jedes durch 4 teilbare \(n\) eine Gleichung, deren Galoissche Gruppe die alternierende Gruppe ist; für alle anderen \(n\) ist die Gleichung ohne Affekt. Der Beweis geschieht mit Hilfe von Sätzen aus der Idealtheorie und der Theorie der Permutationsgruppen. Von diesen sei nur das folgende Theorem angeführt: Hat man eine im Körper der rationalen Zahlen irreduzible, ganzzahlige Gleichung \[ F(x)\equiv x^n+ a_1x^{n-1} + \cdots + a_n = 0, \] deren Diskriminante die Primzahl \(p\) mindestens in der \(n\)-ten Potenz enthält, und bei der das konstante Glied \(a_n\) durch \(p\), aber nicht durch \(p^2\) teilbar ist, besteht ferner eine Kongruenz der Form \[ F(x)\equiv x^kf(x) \pmod p, \] wobei \(k >1\) und die Diskriminante des Polynoms \(f(x)\) zu \(p\) teilerfremd ist, so besitzt die Galoissche Gruppe der Gleichung eine durch \(p\) teilbare Ordnung. Ist im besonderen \(\frac n2 < p < n - 2\), so ist die Galoissche Gruppe der Gleichung die symmetrische oder die alternierende Gruppe. Der zweite Fall liegt vor, wenn die Diskriminante der gegebenen Gleichung eine Quadratzahl ist. Infolge der zuletzt angeführten Kongruenz, die für \(n\leqq 7\) nicht realisierbar ist, benötigen die Polynome mit Gradzahlen \(n\leqq 7\) eine besondere Behandlung.

Citations:

JFM 24.0087.*
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