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Grundlagen der kombinatorischen Logik. I. (German) JFM 56.0048.02

Verf. bespricht in der Einleitung, Kap. I, (A) u.a. die von Schönfinkel herrührende Analysis der Substitutionsprozesse. Es folgen in (B) einige philosophische Betrachtungen, über welche man wohl sehr verschiedener Ansicht sein kann. In (C) wird dann das “Grundgerüst” der formalen Theorie aufgestellt. Die Substitutionsprozesse werden als Anwendungen der Operationen \(B\), \(C\), \(W\), \(K\) dargestellt. Außerdem treten die Zeichen \(Q\), \(\varPi\), \(P\), \(\varLambda\) hinzu, wobei \(\varPi\) ein Allzeichen ist, und \(P\) und \(\varLambda\) bzw. Implikation und Konjunktion bedeuten. Die Identität zweier Ausdrücke wird mittels des Zeichens \(\equiv\) ausgedrückt. Es ist dann \(QXY \equiv (X = Y)\), und, falls \(X\) und \(Y\) aus \(B\), \(C\), \(W\), \(K\) gebildet sind, heißt \(X = Y\), daß \(X\) und \(Y\) denselben Substitutionsprozeß darstellen. Für die Zeichen \(B\), \(C\), \(W\), \(K\), \(Q\), \(\varPi\), \(P\), \(\varLambda\) werden gewisse Axiome aufgestellt und außerdem gewisse Regeln; in den letzten treten auch andere Symbole \(X, Y, Z, \ldots\) auf, die “Etwasse” sind. Die Axiome und Regeln sind derart gewählt, daß es gelingt, rein formal alle Sätze über die Gleichheitsbeziehung zu beweisen, und zwar so, daß es nicht nötig wird, auf die Variablen und Funktionen, welche den Substitutionsprozessen unterworfen sind, zurückzugreifen. In Kap. I, (D) werden einige solche Sätze bewiesen.
In Kap. II, (A) wird erklärt, was unter einer Kombination von “Etwassen” \(X_1,\ldots, X_n\) zu verstehen ist, und eine Kombination von \(B\), \(C\), \(W\), \(K\) heißt ein Kombinator. Weiter wird gesagt, daß der Kombinator \(Y\) die Kombination \(X\) der Variablen \(x_1,\ldots, x_n\) darstellt, wenn die Gleichung \(Yx_1,\ldots, x_n = X\) besteht. Dann beweist Verf. in den weiteren Teilen von Kap. II, daß (1) ein Kombinator nur eine Kombination von \(x_1,x_2,\ldots, x_n\) darstellen kann, (2) jede Kombination von Variablen von einem Kombinator dargestellt wird, und (3) \(Y_1 = Y_2\) ist, wenn \(Y_1\) und \(Y_2\) dieselbe Kombination darstellen. (In diesem ersten Teile der vorliegenden Arbeit kommen aber nur die Abschnitte (A) und (B) des Kap. II. vor.) In (B) werden durch Rekursion einige Symbole \(B_n\), \(C_n\), \(W_n\), \(K_n\) eingeführt und einige Sätze darüber bewiesen. Außerdem wird das Produkt \(X . Y\), das \(\equiv BXY\) ist, eingeführt, und mittels dieses Begriffes werden die Axiome in neuer Form aufgeschrieben.

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