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Sur une classe de surfaces minima plongées dans un espace à cinq dimensions à courbure constante. (French) JFM 55.0429.03

Spisy Brno 1929, Nr. 106, 28 S. (1929).
Es handelt sich um die Minimalflächen \(M\) des fünfdimensionalen Raumes \(R_5\) konstanter Krümmung, deren Indikatrix der Normalkrümmung in jedem Punkte eine Kreislinie \(K\) ist. Verfasser hatte 1928 den Fall des \(R_4\) behandelt (Rozpravy 37, Nr. 37; Bulletin International de l’Acad. de Bohême 29; F. d. M. 54, 773 (JFM 54.0773.*)). Im \(R_5\) sind die Resultate ganz anders als im \(R_4\). Wenn \(R_5\) euklidisch ist, reduzieren sich die erste und (\(-1\))-te Laplacetransformierte des Netzes der Minimalkurven von \(M\) auf Kurven, die samt ihren Tangenten auf der absoluten \(F_2\) liegen; der Halbmesser von \(K\) kann nicht konstant sein. Im nichteuklidischen \(R_5\) gibt es allgemeine \(M\), deren Minimalkurvennetz sich nach sechs Laplacetransformationen reproduziert und autopolar in bezug auf die absolute \(F_2\) ist, und spezielle \(M\), deren zweite Laplacetransformierte sich auf eine Kurve reduziert. Die allgemeinen nichteuklidischen \(M\), sowie die euklidischen, hängen von vier willkürlichen Funktionen, die speziellen von drei ab. Im nichteuklidischen \(R_5\) kann der Halbmesser von \(K\) konstant sein, es gibt eine einzige derartige allgemeine \(M\), die algebraisch ist, und eine von einer willkürlichen Funktion abhängende Familie solcher spezieller \(M\), deren endliche Gleichungen angegeben werden.

Citations:

JFM 54.0773.*