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Le principe de Huyghens pour les équations à trois variables indépendantes. (French) JFM 55.0292.01

Anschließend an frühere Arbeiten (1927; F. d. M. 53, 476 (JFM 53.0476.*)-477) studiert Verf. die das Huyghenssche Prinzip formulierende Integralrelation im besonders übersichtlichen Fall des \(R_3\); ist \(O\) ein beliebiger Punkt, so ist danach \[ 2\pi u_0 = \iint\limits_{S_1} v_{01} u_1^\prime \, dS_1 + \iint\limits_{S_1} L_{1}\cdot v_{01} u_1 \, dS_1 \frac d{dr_1} \iint\limits_{S_1} v_{01}^\prime u_1 \, dS_1 = (a) + (c) - (b), \tag{*} \] wo 1 einen auf \(S_1\) variablen Punkt, \(S_1\) das vom Charakteristikenkegel mit dem Scheitel \(O\) auf der vorgegebenen Fläche ausgeschnittene Stück bezeichnet. Handelt es sich um die bekannte Differentialgleichung der zylindrischen Wellen im \(xyz\)-Raume, so kennt man die Elementarlösung \(v_{01}\) und kann alles auf die Berechnung des Integrals \[ I = \iint [h^2 - (a-x)^2 (b-y)^2]^{- \frac 12} [h^{\prime 2} - (a^{\prime } -x)^2 (b^{\prime} -y)^2]^{- \frac 12} \, dx dy \] und seiner Derivaten nach \(h, h'\) reduzieren, wo das Integrationsgebiet die den beiden Kreisen \(C \equiv h^2- (a- x)^2 - (b - y)^2 \geqq 0\) und \(C^\prime \equiv h^{\prime 2}- (a^{\prime }- x)^2(b^{\prime }- y)^2 \geqq 0 \) gemeinsame Fläche ist. Die Schwierigkeit tritt dann auf, wenn \(C\) und \(C^{\prime }\) sich außen bzw. innen berühren, indem sich für \(I\) verschiedene analytische Ausdrücke ergeben. Im Fall einer allgemeinen Differentialgleichung liegen die Verhältnisse ähnlich, und dies führt Verf. dazu, Integrale der Form \[ I = \iint fv\bar{v}\, dS, \quad v = \frac V{\sqrt{\varGamma}}, \quad \bar v = \frac {\bar{V}}{\sqrt{\bar{\varGamma}}}, \] zu studieren, wo der Integrationsbereich durch \({\varGamma} \geqq 0, \bar{\varGamma} \geqq 0\) gegeben ist und der Integrand am Rande von der Ordnung \(\frac 12\) in \(v, \bar{v}\) singulär wird. Die Diskussion ergibt unter Einführung geeigneter krummliniger Koordinaten, daß die Derivierten von \(I\) im allgemeinen beschränkt in der Umgebung einer inneren bzw. äußeren Berührung sind von der Ordnung \(\frac 12\), wenn die beiden Bereiche ineinander liegen bzw. sich schneiden.
Diese Resultate werden nun auf (\(^*\)) angewandt, indem man auf einer \(S_2\) die Werte von \(u, u^\prime\) gegeben denkt und mittels (\(^*\)) \(u_1\) und dann \(u_0\) berechnet. Indem so (\(^*\)) zweimal angewandt wird, kommt es auf das Studium der durch den Rand der Charakteristikenkegel bedingten Singularitäten an, das Verf. mittels des Vorangehenden voll durchführt. Gleichzeitig ergibt sich eine einfache Formel für die analytische Fortsetzung \(v_{02}\) der Elementarlösung \(v_{01}\).
Vgl. auch in IV 7 das Buch von G. Vivanti (S. 230), in IV 9 das Buch von O. Volk (S. 249) sowie in IV 12 das Buch von J. Horn (S. 275-276).

Citations:

JFM 53.0476.*
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