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Über einen Satz von Herrn Esclangon. (German) JFM 55.0253.04

Verf. gelangt zu folgender Verschärfung eines Esclangonschen Satzes (Nouvelles recherches sur les fonctions quasi-périodiques, Annales de l’Observatoire de Bordeaux 16 (1921), 51-177): Man habe eine für reelles, nicht negatives \(x\) beschränkte Funktion \(y = y(x)\); ferner sei mit ganzem \(n \geqq 2\) der lineare Differentialausdruck \[ y^{(n)} + p_1 y^{(n-1)} + \ldots + p_n y, \tag{1} \] worin die \(p_1, \ldots, p_n\) beschränkte Funktionen von \(x\) seien, beschränkt. Dann sind für nicht negatives \(x\) die \[ y^{(1)}, \ldots, y^{(n)} \] beschränkt. Verf. verallgemeinert diesen Satz auf nicht lineare Differentialausdrücke und gelangt zu folgendem Ergebnis:
Mit ganzem \(n \geqq 2\) sei \[ \mathfrak{P} = \sum\limits_{(l_\nu)} p_{l_1, \ldots, l_{n-1}}(x) \cdot {y'}^{l_1} \cdots y^{(n-1)^{l_{n-1}}}, \tag{1a} \] wobei über alle Systeme von ganzzahligen \(l_{\nu} \geqq 0\), für die \(\sum\limits_{\nu=1}^{n-1} \nu l_{\nu} < n\) ist, zu summieren ist. Es sei gesetzt \(N = \dfrac{1}{n} \sum\limits_{\nu=1}^{n-1} \nu l_{\nu}, \quad \mu = \text{Max} (1, y^{(n)}(0))\), und es sei \(|y| \leqq 1\) für \(|x| \leqq 1\); dann gibt es zwei nur von \(n\) abhängige Zahlen \[ \varepsilon = \varepsilon (n) > 0 \quad \text{und} \quad P = P (n) > 0, \] so daß, wenn \[ |p_{l_1, \ldots, l_n}(x)| < \varepsilon \cdot \mu^{1-N} \quad \text{und} \quad y^{(n)} + \mathfrak{P} < \varepsilon \mu \tag{2} \] ist, \[ |y^{(n)}(0)| \leqq P \quad \text{und} \quad y^{(\nu)}(0) \leqq P \qquad (\nu = 1, \ldots, n-1) \tag{3} \] gilt.
Verf. zeigt ferner, daß man, wenn statt der zweiten Ungleichung in (2) \[ |y^{(n)} + \mathfrak{P}| < \varepsilon \mu \] vorausgesetzt wird, in (3) sogar \[ |y^{(n)}(0)| \leqq P \] gilt. [Siehe auch JFM 56.0383.01]

Citations:

JFM 56.0383.01
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