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Über das monotone Polynom, welches die minimale Abweichung von Null hat, wenn die Werte seiner ersten Ableitungen gegeben sind. (German) JFM 55.0213.04

Die Verf. behandeln zunächst die folgende Aufgabe: \(q(x)\) sei ein gegebenes Polynom \(l\)-ten Grades, das im Intervall \(-1< x<1\) nicht verschwindet. Man bestimme das Minimum des Integrals \[ S=\int_{-1}^{1} q(x)\,R_m^2\,(x)\,dx, \] wobei \(R_m(x)\) ein Polynom \(m\)-ten Grades bezeichnet, dessen Wert an einer Stelle \(\eta\), \(|\,\eta\,|<1-\varepsilon \), ebenso wie die Werte seiner \(r\) ersten Ableitungen gegeben ist: \[ R_m^{(i)}\,(\eta)=b_i. \]
Zu diesem Zweck wird \(R_m(x)\) nach normierten orthogonalen Polynomen entwickelt: \[ R_m(x)=\sum\limits_{s=0}^{m} c_0P_s(x). \] Dann gilt \[ \begin{vmatrix} S&b_0&b_1&\dots &b_r\\ b_0&a_{00}&a_{10}&\dots &a_{r0}\\ b_1&a_{01}&&&\;\cdot\\ \;\cdot&\;\cdot&&&\;\cdot\\ \;\cdot&\;\cdot&&&\;\cdot\\ \;\cdot&\;\cdot&&&\;\cdot\\ b_r&a_{0r}&\dots &\dots &a_{rr} \end{vmatrix}=0, \] wobei \[ a_{ij}=\sum P_s^{(i)}\,(\eta) P_s^{(j)}\,(\eta). \]
Für die \(a_{ij}\) lassen sich asymptotische Werte für große \(m\) (\(i\), \(j\) fest) auf Grund von Formeln von Darboux (1878; F. d. M. 10, 279-280) und Szegö (1920; F. d. M. 48, 378 (JFM 48.0378.*)) angeben: \[ a_{ij}\sim\frac{(-1)^{i+j}\,\cos\dfrac{i-j}{2} \pi \cdot m^{i+j+1}}{\pi \cdot q(\cos\,\varphi ) \cdot (\sin\,\varphi )^{i+j+1}\,(i+j+1)}, \] wobei \(\varphi \) durch \(\eta=\cos\,\varphi \) bestimmt ist.
Es ergibt sich weiter unter der Voraussetzung, daß alle \(b_i\) von derselben Ordnung sind, für das asymptotische Verhalten von \(S\): \[ S\sim\frac{\pi b_0^2q(\cos\,\varphi )\cdot \sin\,\varphi }{m} \cdot \frac{(\nu +1)!^2}{2^{2\nu }\biggl(\tfrac{\nu }{2}\biggr) !^4}, \] wobei \(\nu = r\) oder \(= r- 1\) zu setzen ist, je nachdem ob \(r\equiv 0\) oder \(\equiv 1\) (mod 2) ist. Eine kompliziertere Formel gilt unter der Voraussetzung \[ \frac{b_i}{i!}\sim\beta _ib_0m^i\qquad(\beta _i\;\text{Konstanten}). \]
Diese Untersuchungen wenden die Verf. an auf die folgende Frage: Welches ist im Intervall \((- 1, + 1)\) die minimale Abweichung von Null für das Polynom von höchstens \(n\)-tem Grade, das im Intervall \((- 1, 1)\) monoton ist, und dessen erste \(k\) Ableitungen in einem Punkt \(\eta\), \(|\,\eta\,|<1-\varepsilon \) gegeben sind?
Sind die Werte der gegebenen Ableitungen alle von derselben Ordnung, so ergibt sich für das asymptotische Verhalten der Abweichung von Null bei wachsendem Grad \(n\) des Polynoms \[ L\sim\frac{2\pi \,a_1\,\sin\,\varphi }{n}\, \Biggl[ \frac{(\nu +1)\,!}{2^\nu \biggl( \frac{\nu }{2}\biggr)\,!}\Biggr]^2, \] wobei \(\varphi \) durch \(\cos\,\varphi =\eta\) bestimmt ist, \(a_1\) den gegebenen Wert der ersten Ableitung bezeichnet und \(\nu =k-1\) oder \(= k - 2\) zu setzen ist, je nachdem, ob \(k\equiv1\) oder \(k\equiv0\) (mod 2) ist.
Die Verf. gelangen ferner zu einer Formel für den Fall, wo die gegebenen Werte der Ableitungen in geometrischer Progression wachsen.
(Vgl. auch das vorstehende und die folgenden Referate.)

Citations:

JFM 48.0378.*
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References:

[1] Vgl. Darboux, Approximation des fonctions de très grands nombres, Journal de Mathématiques pures et appliquées (3)4 (1878), p. 413.
[2] S. Bernstein, Sur quelques propriétés asymptotiques de la meilleure approximation, Comptes Rendus186, p. 840. – Sur les polynomes orthogonaux, ibidem S. Bernstein, Sur quelques propriétés asymptotiques de la meilleure approximation, Comptes Rendus188, p. 361.
[3] G. Szegö, Über die Entwickelung einer analytischen Funktion nach den Polynomen eines Orthogonalsystems, Math. Annalen82 (1920), S. 207.
[4] J. Geronimus, Über die minimale mittlere quadratische Abweichung des Polynoms von Null im gegebenen Intervall (Russisch), Communications de la Société Mathématique de Kharkow (4)2 (1928), S. 32. · JFM 54.0382.01
[5] Vgl. W. Břečka and J. Geronimus, On a monotonic polynomial having the minimal deflection from zero, Tôhoku Mathematical Journal30 (1929), Nr. 3, 4, S. 389.
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