×

Sur la dérivée par rapport à log \(r\) de la fonction de croissance \(T(r;f)\). (French) JFM 55.0195.01

1. Die charakteristische Funktion \(T(r, f)\) einer für \(|\,x\,|<R\) meromorphen Funktion \(f(x)\) besitzt, wie Verf. angibt, eine Ableitung nach \(r\), und zwar hat \(f(r,f)\equiv\dfrac{dT(r,f)}{d\,(\log\,r)}\) folgende anschauliche Bedeutung: Man betrachtet die Riemannsche Fläche über der \(y\)-Ebene, die zu \(y=f(x)\) gehört, und speziell die Teile \(D(r)\) von ihr, die Werten \(|\,x\,|\leqq r\) entsprechen. Dann ist \(2\pi \cdot t(r,f)=\text{Summe}\) der Längen derjenigen Bögen des Einheitskreises, welche von \(D(r)\) bedeckt sind, jeden so oft gezählt, wie die Anzahl der über ihm liegenden Blätter von \(D(r)\) beträgt.
2. Es wird allgemein eine Überdeckungsfunktion \(u(r)\) einer geschlossenen, doppelpunktfreien, aus endlich vielen analytischen Bögen bestehenden Kurve \(C\) definiert durch die Vorschrift: Das Innere von \(C\) wird in gewisser Weise auf den Einheitskreis konform abgebildet. Dann ist \(2\pi \cdot u(r)=\text{Summe}\) der Längen der Einheitskreisbögen, deren Bilder von \(D(r)\) bedeckt sind, jeden mit der oben angegebenen Vielfachheit. Entsprechend Überdeckungsfunktion von Bereichen. Dann gilt: \(u_1(r)\) und \(u_2(r)\) seien zwei Überdeckungsfunktionen von Kreisumfängen oder Kreisringen (auch Grenzfälle). Dann ist für alle \(\alpha >\frac{1}{2}\): \[ |\,u_1\,(r)-u_2\,(r)\,|<[u_1(r)]^\alpha, \] wenn \(r\) außerhalb gewisser, nur von \(f\) und \(\alpha \) abhängender Intervalle liegt.
3. Die letzte Aussage gilt, wenn \(f\) in der ganzen Ebene meromorph ist, auch für Überdeckungsfunktionen beliebiger Funktionen und Bereiche, ebenso für meromorphe algebroide Funktionen \(f\). (IV 5.)

PDFBibTeX XMLCite
Full Text: Gallica