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Complément à la Note sur les probabilités relatives aux transformations répétées. (French) JFM 54.0552.03

Ausdehnung der von Hadamard (1927; F. d. M. 53, 495 (JFM 53.0495.*)) veröffentlichten Untersuchungen auf eine kontinuierliche Variable: Ein variabler Punkt \(M\) werde auf dem Intervall \(<a,b>\) einer Folge von willkürlichen Verrückungen unterworfen, die ihn aus der Anfangslage \(M_1\) mit der Abszisse \(x_1\) nach dem ersten Schritt in die Lage \(M_2(x_2)\), nach dem zweiten in die Lage \(M_3(x_3),\dots\) bringen. Es bezeichne \(f(x_{k-1},x_k)dx_k\) die Wahrscheinlichkeit dafür, daßder Punkt aus der Lage \(x_{k-1}\) durch eine Verrückung der Folge in das Intervall \(<x_k,x_k+dx_k>\) gebracht werde. Alsdann wird die Wahrscheinlichkeit \(P^{(n)}(x,y)dy\) dafür, daßder Punkt durch \(n\) Schritte aus der Anfangslage \(x\) in das Intervall \(<y,y+dy>\) gebracht werde, gegeben durch das Integral \[ P^{(n)}(x,y)dy=\left\{ \int_a^b \int_a^b \cdots \int_a^b f(x,x_1) f(x,x_2) \cdots f(x_{k-1},y)dx_1 dx_2 \cdots dx_{k-1} \right\} dy. \] Von der Funktion \(f(x,y)\) wird vorausgesetzt, daßsie für \(a \leqq x \leqq b\), \(a \leqq y \leqq b\) stetig und positiv ist, und daß \[ \int_a^b f(x,y)dy=1 \] ist. Es ergibt sich in Übereinstimmung mit dem bekannten Satz von Poincaré, daß\(P^{(n)}(x,y)\) für \(n \to \infty\) gegen einen von \(x\) und \(y\) unabhängigen Grenzwert, der gleich \(\frac{1}{b-a}\) ist, konvergiert.

Citations:

JFM 53.0495.*
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Full Text: Gallica