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Über die Summen durch den Zufall bestimmter unabhängiger Größen. (German) JFM 54.0543.05

Verf. betrachtet zunächst endlich viele unabhängige Größen \(x_1,\dots,x_n\) und schätzt im wesentlichen die Wahrscheinlichkeit dafür, daßdie größte der Zahlen \(| x_1|,| x_1+x_2|,\dots,| x_1+\cdots +x_n|\) unterhalb oder oberhalb von beliebig vorgegebenen Größen liegt bzw. von Größen, die vom Maximum \(M\) aller möglichen \(| x_1|,\dots, | x_n|\) und der Streuungssumme \(\vartheta\) aller \(x_1,\dots,x_n\) abhängen, ab durch \(M\) und \(\vartheta\) bzw. durch Konstante. Mit diesen Abschätzungen wird dann für unendliche Folgen \(x_1,x_2,\dots\) bewiesen, daßfür die Gültigkeit des Gesetzes der großen Zahlen die Frage, ob die Summe der Streuungsquadrate von \(x_1,\dots,x_n\) ein \(o(n^2)\) ist, nicht nur, wie bekannt, hinreichend, sondern in angegebener Form auch notwendig ist.

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References:

[1] Rec. Math. de Moscou32, 2 (1925), S. 668.
[2] Diese Definition gehört A. Khintchine.
[3] Wir definieren \(P = \mathop {\lim }\limits_{\eta \to 0} \mathop {\lim }\limits_{\eta \to \infty } \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \mathfrak{W}\left[ {Max\left| {\sum\limits_{k = n}^p {y_k } } \right|_{p = n}^N< \eta } \right].\)
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