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Übertragung einiger Sätze aus der Theorie der ganzen Funktionen auf Dirichletsche Reihen. (German) JFM 54.0365.01

\(a_n e^{\lambda_ns}\) ist das allgemeine Glied der Dirichletschen Reihe, \[ a_n \neq 0,\;\lambda_1<\lambda_2<\cdots \to \infty. \] Bei jedem \(\sigma\) soll die Zahlenfolge \(| a_n| e^{\lambda_n \sigma}\) ein oder mehrere größte Glieder besitzen, \(| a_n| e^{\lambda_\nu \sigma}\) sei das maximale Glied mit dem größten Index. \[ m(\sigma)=| a_\nu| e^{\lambda_\nu \sigma},\;\Lambda(\sigma)=\lambda_\nu, \] \(M(\sigma)\) = Maximum des Betrages der durch die Reihe dargestellten Funktion auf der Geraden \(\operatorname{Re}(s)=\sigma\). Ist \[ \varrho=\overline{\lim_{\sigma \to \infty}} \frac{\log \log m(\sigma)}{\sigma}, \] so gilt \[ \overline{\lim_{\sigma \to \infty}} \frac{\log \Lambda(\sigma)}{\sigma}=\varrho,\;\overline{\lim} \frac{\lambda_n \log \lambda_n}{\log \left| \frac{1}{a_n} \right|}=\varrho. \] Aus dem Wachstum der Funktion \[ \varphi(x)=\sum_{\lambda_n<x} 1 \] kann auf Konvergenz der Reihe und Wachstumsordnung der dargestellten Funktion geschlossen werden.

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Full Text: DOI EuDML