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Serie trigonometriche. (Italian) JFM 54.0298.11

Bologna: N. Zanichelli, VIII, 527 p. (1928).
Dieser inhaltsreiche Band bietet in einheitlicher und leicht verständlicher Form eine so gut wie vollständige Darstellung des gegenwärtigen Standes der Theorie der trigonometrischen Reihen dar. Das erste Kapitel, dem eine kurze historische Notiz vorangeht, ist den allgemeinen trigonometrischen Reihen gewidmet. Von dem wohlbekannten Cantorschen Satz ausgehend, welcher eine notwendige Konvergenzbedingung \((a \to 0, b_n \to 0)\) liefert, beweist zunächst Verf. nach Lebesgue, daß, wenn die Cantorschen Bedingungen nicht bestehen, die Reihe fast überall nicht konvergiert. Dann erörtert er die notwendigen Bedingungen dafür, daßeine trigonometrische Reihe überall oder in einzelnen Punkten absolut konvergiert, und zeigt, daß, wenn die Reihe in einem Punkte absolut konvergiert, sie sich in je zwei in bezug auf diesen Punkt symmetrischen Punkten in gleicher Weise verhält. Es folgt die Untersuchung der für einfache oder gleichmäßige Konvergenz hinreichenden Bedingungen, und endlich wird die notwendige und hinreichende Konvergenzbedingung aufgestellt.
Kap. II handelt von der Darstellbarkeit der Funktionen durch trigonometrische Reihen. Den Erörterungen dieses Abschnittes liegt der Begriff von der “oberen und unteren verallgemeinerten zweiten Ableitung” einer Funktion zugrunde, worunter man die Unbestimmtheitsgrenzen von \(\frac{\Delta^2f}{h^2}\) für \(h \to 0\) versteht. Dieser Begriff kommt im Riemannschen Satze vor, welcher die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe angibt. Was die Einzigkeit der Darstellung betrifft, so wird bewiesen, daßzwei trigonometrische Reihen identisch sind, wenn sie im ganzen Intervall von 0 bis \(2\pi\), etwa mit Ausschlußeiner die Mächtigkeit des Kontinuums nicht besitzenden Punktmenge, gleiche Summe haben. Eine weitere Frage ist, wann eine trigonometrische Reihe eine Fouriersche Reihe ist, d. h. wann sich ihre Koeffizienten durch die bekannten Fourierschen Integralformeln darstellen lassen. Dazu ist es hinreichend, daßdie Reihe fast überall im Intervall \(<0,2\pi>\) nach einer beschränkten Funktion strebe, und daßihre Unbestimmtheitsgrenzen im ganzen Intervalle beschränkt seien, ein. Resultat, das noch weiter verallgemeinert worden ist. Es folgen einige Beispiele von Fourierentwicklungen. Endlich wird nachgewiesen, daßdie Einzigkeit aufhört, sobald die Länge des Intervalles, in welchem die Reihe gegeben ist, unter \(2\pi\) sinkt.
Kap. III betrifft die angenäherte Darstellung der Funktionen durch trigonometrische Polynome. Das Problem stimmt wesentlich mit demjenigen von der trigonometrischen Interpolation überein, d. i. von der Aufstellung eines trigonometrischen Polynoms, das für \(n\) vorgegebene (gewöhnlich gleichweit abstehende) Werte von \(x\) die Zugehörigen Werte einer Funktion \(f(x)\) annimmt. Das Problem ist selbstverständlich unbestimmt, da es unendlich viele für die betrachteten Werte von \(x\) verschwindende trigonometrische Polynome gibt; man kann sich aber die Aufgabe stellen, das Polynom kleinsten Grades aufzustellen. Die Interpolation wird zuerst durch Sinus-Polynome, dann durch Cosinus-Polynome, dann endlich durch vollständige Polynome ausgeführt. Es erhebt sich nun die Frage, wann das Polynom bei unbeschränkt zunehmendem \(n\) im ganzen Intervalle nach \(f(x)\) strebt; hinreichende Bedingungen dazu werden angegeben. Zu den erhaltenen Interpolationsformeln führt auch die Methode von den kleinsten Quadraten. Eine weitere Lösung des Problems von der angenäherten Darstellung der Funktionen ist von L. Féjer auf Grund der Cesàroschen Methode von dem arithmetischen Mittel erfunden worden; ferner ist die Tchebyscheffsche Methode von der Annäherung durch rationale Polynome auf trigonometrische Polynome übertragen worden, deren Existenz und Einzigkeit unter bestimmten Bedingungen hier nachgewiesen werden.
Kap. IV beginnt mit der Definition der Fourierschen Folgen und Reihen. Die Folge: \[ (1)\quad \frac 12 a_0,a_1,b_1,a_2,b_2,\dots, \] wo \(a_0\) eine beliebige Konstante ist und \[ (2)\quad a_n=\frac 1\pi \int_0^{2\pi} f(x) \cos nx dx,\;b_n=\frac 1\pi \int_0^{2\pi} f(x) \sin nx dx, \] ist die “Fouriersche Folge”, die Reihe: \[ (3)\quad \frac 12 a_0+\sum_{n=1}^\infty(a_n \cos nx+b_n \sin nx) \] ist die “Fouriersche Reihe” einer Funktion \(f(x)\). Eine Funktion \(f(x)\) bestimmt ihre Fouriersche Reihe vollständig; umgekehrt wird eine Funktion, von einer fast überall verschwindenden Funktion abgesehen, durch ihre Fouriersche Reihe bestimmt. Es gibt aber Fouriersche Folgen, die keiner Funktion angehören. Die Fouriersche Reihe einer Funktion ist nicht notwendig konvergent; auch wenn sie konvergiert, stimmt nicht notwendig ihre Summe mit der erzeugenden Funktion übeiein. Eine lange Kette von Erörterungen, welche unter anderem Untersuchungen über die Größenordnung der Fourierschen Koeffizienten, die Parsevalsche Formel, die Schwarzsche und die Besselsche Ungleichung unzuläßt, führt zum Riesz-Fischerschen Theorem, welches die Konvergenz von \(\sum_{n=1}^\infty (a_n^2+b_n^2)\) als eine hinreichende Bedingung dafür angibt, daßdie Folge (1) eine erzeugende Funktion zuläßt, und zu weiteren derartigen Sätzen.
Kap. V behandelt die Konvergenz der Fourierreihen. Es werden zunächst eine notwendige und zwei hinreichende Bedingungen für die absolute Konvergenz aufgestellt. Für die einfache Konvergenz werden die wichtigsten bekannten Kriterien ausführlich erörtert. Es folgen Untersuchungen über gleichmäßig konvergierende und über fast überall konvergierende Fourierreihen. Die Beziehungen zwischen einer Reihe (3) und ihrer “konjugierten Reihe”: \[ (4)\quad \frac 12 b_0+\sum_{n=1}^\infty (b_n \cos nx-a_n \sin nx) \] werden untersucht; die Auswertung des Annäherungsgrades der trigonometrischen Polynome schließt den Abschnitt.
Kap. VI betrifft die Addition, Multiplikation, Integration und Derivation der Fourierreihen. In Kap. VII wird zuerst die Existenz von durchweg stetigen Funktionen nachgewiesen, deren Fouriersche Reihe nicht überall konvergiert, oder auch überall, aber nicht gleichmäßig konvergiert. Bei den unstetigen Funktionen tritt die Gibbssche Erscheinung auf. Kap. VIII ist dem Poissonschen und dem Fourierschen Integral gewidmet. Das Verhalten des “Poissonschen Integrals” \[ (5)\quad f(x,r)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(\alpha,1) \frac{1-r^2}{1-2r \cos (\alpha-x)+r^2} d \alpha \] für die verschiedenen Werte von \(r\) wird ausführlich untersucht, und seine Beziehung zum Dirichletschen Problem wird erwähnt. Das “Fouriersche Integral” kommt in zwei Gestalten vor, nämlich: \[ \begin{aligned} (6)\quad &\lim_{n \to \infty} \frac 1\pi \int_{-\infty}^{+\infty} f(\alpha) \frac{\sin x(\alpha-x)}{\alpha-x} d \alpha,\\ (7)\quad &\frac 1\pi \int_{+0}^{+\infty} d \nu \int_{-\infty}^{+\infty} \cos \nu(\alpha-x)d \alpha;\end{aligned} \] unter Umständen ist dieses Integral gleich \(\frac 12[f(x+0)+f(x-1)]\). Eine Abänderung des Fourierschen Integrals bilden die vom Verf. als “Sommerfeldsche” bezeichneten Integrale: \[ \begin{aligned} (8)\quad &\lim_{k \to +0} \frac 1\pi \int_{+0}^{+\infty} e^{-k \nu} d \nu \int_{-\infty}^{+\infty} f(\alpha) \cos \nu(\alpha-x)d \alpha,\\ (9)\quad &\lim_{k \to +0} \frac 1\pi \int_{+0}^{+\infty} e^{-k \nu^2} d \nu \int_{-\infty}^{+\infty} f(\alpha) \cos \nu(\alpha-x)d \alpha.\end{aligned} \] In Kap. IX wird die Theorie auf die zweifachen Fourierreihen ausgedehnt. Ihre einfache und gleichmäßige Konvergenz wird untersucht; verschiedene Konvergenzkriterien werden angegeben; Bedingungen für die Summierbarkeit nach den einzelnen Indices werden aufgestellt. Die Fejérsche Methode für die Bildung von trigonometrischen Polynomen und die bezüglichen Sätze, sowie die Parsevalsche Formel und der Riesz-Fischersche Satz lassen ebenfalls eine Ausdehnung auf Funktionen zweier Veränderlichen zu.
Besprechungen: L. Bieberbach; Jahresbericht D. M. V. 35 (1929), 101 kursiv. J. D. Tamarkin; Bulletin A. M. S. 35 (1929), 871-874.