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Reziprozitätsgesetze in quadratisch-imaginären Körpern. I, II. (German) JFM 54.0192.02

Die klassischen Formeln der komplexen Multiplikation der elliptischen Funktionen sind vom Typus: \[ {\mathfrak T}(\nu z;\omega_1,\omega_2)=R({\mathfrak T}(z;\omega_1,\omega_2)), \] wo die Perioden \(\omega_1,\omega_2\) eine Idealbasis aus einem imaginärquadratischen Zahlkörper \(k\) sind, \(\nu\) eine ganze Zahl aus \(k\) ist, und \(R\) eine rationale Funktion mit Koeffizienten aus dem Körper der zur elliptischen Funktion \({\mathfrak T}(z;\omega_1,\omega_2)\) gehörigen singulären Moduln bedeutet.
Verallgemeinert man diese Formeln in der Weise, daßman statt der Multiplikation des Arguments \(z\) mit der Zahl \(\nu\) das Periodenideal \({\mathfrak w}=(\omega_1,\omega_2)\) durch ein ganzes Ideal \(\mathfrak n\) aus \(k\) dividiert: \[ {\mathfrak T}(z,{\mathfrak w}) =R \left( {\mathfrak T} \left( z,{\frac {\mathfrak w}{\mathfrak n}} \right) \right), \] so drückt die damit herleitbare Kongruenz: \[ {\mathfrak T}(\lambda,{\mathfrak w})^{N({\mathfrak p})} \equiv {\mathfrak T} \left( \lambda,\frac{\mathfrak w}{\mathfrak p} \right)(\mod {\mathfrak p}), \] wo \(\lambda\) eine gebrochene Zahl aus \(k\) und \(\mathfrak p\) ein Primideal aus \(k\) mit der Norm \(N({\mathfrak p})\) ist, nicht nur das Zerlegungsgesetz für \(\mathfrak p\) in dem durch \({\mathfrak T}(\lambda,{\mathfrak w})\) erzeugten Strahlklassenkörper, sondern auch allgemeiner das Artinsche Reziprozitätsgesetz für diesen relativ Abelschen Körper aus.
Auf dieser Grundlage gibt Verf. einen Beweis des Analogons zum Eisensteinschen Reziprozitätsgesetz der \(l\)-ten Potenzreste (\(l\) Primzahl) im Körper der \(l\)-ten Einheitswurzel \(\zeta\) über \(k\) zwischen einer primären Zahl aus \(k(\zeta)\) und einer zu primen Zahl aus \(k\). Dieser Beweis benutzt nur die durch die Modul- und elliptischen Funktionen gelieferte Theorie der Klassenkörper über \(k\), macht also nicht, wie der Artinsche Beweis, von der Theorie der Klassenkörper über dem Erweiterungskörper \(k(\zeta)\) Gebrauch. Sein Vorbild ist der Beweis des Einsteinschen Reziprozitätsgesetzes im Körper \(R(\zeta)\) der \(l\)-ten Einheitswurzeln über dem rationalen Zahlkörper \(R\), der ja ebenfalls nur die durch die Exponentialfunktion gelieferte Theorie der Klassenkörper über \(R\), nicht das der Klassenkörper über \(R(\zeta)\) benutzt.

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Full Text: EuDML