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Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen. (German) JFM 54.0156.01

Sitzungsberichte Heidelberg 1928, Nr. 7, 14 S. (1928).
Es wird gezeigt, daßin einem kommutativen Ring mit Einheitselement, in dem der Teilerkettensatz gilt, die Länge jeder nicht vom Einheitsideal ausgehenden Primideal-Vielfachenkette beschränkt ist. Die zu diesem Beweis notwendigen Überlegungen ergeben zugleich eine Reihe weiterer interessanter Tatsachen, deren Spezialisierung auf den Polynombereich zu folgenden Ergebnissen führt:
(1) Beweis der von Lasker und Macaulay nur unvollständig bewiesenen Verallgemeinerung des Noetherschen Fundamentalsatzes:
zu jedem Polynomideal \[ {\mathfrak m}=(f_1(x),\dots,f_t(x)) \] gibt es endlich viele Nullstellen \(\left\{ \alpha_1^{(\lambda)},\dots, \alpha_n^{(\lambda)} \right\}\), \((\lambda=1,\dots,s)\), so daßaus \[ g(x)={\mathfrak P}_1^{(\lambda)} f_1(x)+\cdots +{\mathfrak P}_t^{(\lambda)} f_t(x)\;(\lambda=1,\dots,s) \] stets \(g(x)\equiv 0\) \((\mathfrak m)\) folgt. Dabei bedeuten die \({\mathfrak P}^{(\lambda)}(x)\) formale Potenzreihen in \[ (x_1-\alpha_1^{(\lambda)}),\dots, (x_n-\alpha_n^{(\lambda)}). \]
(2) Ist \(\mathfrak p\) ein Primideal der Dimension \(d\) und \(h(x)\not equiv 0(\mathfrak p)\), so besitzt \({\mathfrak p},h(x)\) nur isolierte Primärkomponenten der Dimension \(d-1\). Der entsprechende Satz im Bereich der Potenzreihen führt wahrscheinlich auf einen von Blumenthal mit analytischen Hilfsmitteln bewiesenen Satz; dazu mußaber noch der Zusammenhang zwischen Primideal und irreduzibler analytischer Mannigfaltigkeit klargestellt werden. was in einer Erlanger Dissertation geschehen soll. (III 7.)