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Mathematische Miszellen. XII: Bemerkungen zum Beweise des Budan-Fourierschen und Newton-Sylvesterschen Satzes. (German) JFM 54.0120.03

Der Beweis des Budan-Fourierschen Theorems läßt sich besonders einfach in dem Fall führen, daßweder das betrachtete Polynom \(f(x)\) noch eine seiner Ableitungen mehrfache Wurzeln hat. Auf diesen Fall kann man sich aber beschränken, wenn man vorher den folgenden, in der vorliegenden Arbeit (auf sehr einfache Weise) bewiesenen Satz verwendet: Die Koeffizienten eines reellen Polynoms \(f(x)\) lassen sich durch Erteilung absolut beliebig kleiner Zuwächse derart variieren, daßdas variierte Polynom dieselbe Anzahl reeller Wurzeln besitzt wie \(f(x)\) und zugleich nebst allen Ableitungen lauter einfache Wurzeln hat. Auch beim Beweis des Newton-Sylvesterschen Satzes läßt sich das genannte Verfahren mit Vorteil verwendet. Man hat dann die Abänderung der Koeffizienten so durchzuführen, daßaußer den genannten zwei Bedingungen noch eine dritte erfüllt ist.

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Full Text: EuDML