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Sur le problème rectiligne des trois corps. (French) JFM 53.0892.04

Die drei Massen, deren Gesamtschwerpunkt als ruhend angenommen ist, erhalten die beständige Anordnung \(m_1\), \(m_3\), \(m_2\), die Gerade wird in Richtung von \(m_1\) nach \(m_2\) orientiert. Sei \(z\) die Abszisse von \(m_2\) in bezug auf \(m_1\), \(u\) diejenige von \(m_3\), gezählt vom gemeinsamen Schwerpunkt der beiden anderen Massen. Dann sind \(a_1z+u\) bzw. \(a_2z-u\), wo \(a_1\) und \(a_2\) nur von den Massenwerten abhängen, die Abstände \(m_1m_3\) und \(m_3m_2\). Bei einem Zusammenstoß wo \(m_1\) mit \(m_3\) wird \[ \frac{z}{u}=-a_1,\quad\frac{z}{u}=a_2 \] entspricht dem Zusammenstoß von \(m_3\) und \(m_2\). Der Absicht der Untersuchung gemäß wird von den physikalischen Folgen der Zusammenstöße abgesehen und die Bewegung analytisch über diese Momente fortgesetzt gedacht. Da die beiden Differentialgleichungen zweiter Ordnung für \(z\) und \(u\) mit dem Integral der lebendigen Kraft die Zeit nicht explizite enthalten, können sie durch ein System zweiter Ordnung und eine Quadratur ersetzt werden. Hierzu werden die neuen Veränderlichen \[ \frac{u}{z}=x,\quad\frac{du}{dz}=y \] eingeführt. Nun ist es höchst unwahrscheinlich, daß der hier betrachtete Spezialfall jemals als Näherungslösung für die Bewegung eines neuentdeckten Himmelskörpers dienen kann. Die Verfolgung der Bewegungsvorgänge entbehrt also praktischer Bedeutung. Verf. sieht deshalb sein Ziel vornehmlich darin, mittels Poincaréscher Methoden die charakteristischen Eigenschaften der durch die transformierten Differentialgleichungen definierten Kurven, insbesondere ihre singulären Elemente, zu untersuchen und ihre Bedeutung im Zusammenhang mit den einzelnen Phasen der Bewegungen klarzulegen. Es leitet ihn dabei der Gedanke, daß die zu erwartenden Einsichten der Beantwortung der schwierigen Fragen, die das allgemeine Dreikörperproblem aufwirft, die Wege ebnen werden. Die vorlegende Abhandlung beschränkt sich im Rahmen dieser qualitativen Untersuchung darauf, Verlauf und Verhalten der Charakteristiken in unmittelbarer Nähe der Knoten und Hälse, die den Zusammenstößen entsprechen, festzustellen, und zwar nacheinander für den verhältnismäßig einfachen Fall, daß \(h\), Konstante des Integrals der lebendigen Kraft, Null ist, für \(h>0\) und \(h<0\). Insoweit wird der Gegenstand erschöpft und das wichtige Ergebnis erlangt, daß keine anderen Charakteristiken existieren als die von Poincaré angegebenen. Eine Ausdehnung der Untersuchung auf weitere Gebiete von Ebene und Raum bleibt einer späteren Abhandlung vorbehalten.

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Full Text: DOI Numdam EuDML