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Über Mindestzahlen von Fixpunkten. (German) JFM 53.0554.01

Im Unterschied zu der jetzt weit ausgebildeten Theorie der Fixpunkte stetiger Abbildungen, die sich mit der algebraischen Anzahl der Fixpunkte beschäftigt, untersucht der Verf. mit Hilfe einer auf Nielsen zurückgehenden Methode die Frage nach geometrisch verschiedenen Fixpunkten. Von diesem Standpunkt aus werden Abbildungen des Kreisringes und des Torus (und deren \(n\)-dimensionalen Verallgemeinerungen), sowie des \(n\)-dimensionalen projektiven Raumes behandelt.

MSC:

57-XX Manifolds and cell complexes
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References:

[1] Vgl. die Darstellung von Feigl, Fixpunkts?tze f?r speziellen-dimensionale Mannigfaltigkeiten, Math. Annalen (erscheint demn?chst), und die dort zitierten Arbeiten von Alexander und Brouwer;-ferner Birkhoff, On dynamical systems..., Trans. Amer. Math. Soc.18 (1917).
[2] Z. B. bei Brouwers Beweis der Fixpunkts?tze f?r dien-dimensionalen Kugeln; s. Feigl, 1. c., Fixpunkts?tze f?r speziellen-dimensionale Mannigfaltigkeiten, Math. Annalen (erscheint demn?chst), ?? 4, 5.
[3] H. Hopf, Vektorfelder inn-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, Math. Ann. 96 (1926). · JFM 52.0571.01
[4] J. Nielsen, ?ber topologische Abbildungen geschlossener Fl?chen, Abhandl. aus dem Math. Seminar d. Hamburgischen Universit?t3 (1924); Zur Topologie der geschlossenen Fl?chen, Kongresberetningen Kopenhagen 1926.
[5] Vgl. Steinitz, Beitr?ge zur Analysis Situs, Sitzungsber, d. Berliner Math. Ges.7 (1908).
[6] J. Nielsen, ?ber die Minimalzahl der Fixpunkte bei Abbildungstypen der Ringfl?chen, Math. Annalen82 (1921).
[7] Brouwer, ?ber die Minimalzahl der Fixpunkte bei den Klassen von eindeutigen stetigen Transformationen der Ringfl?chen. Math. Annalen82 (1921). · JFM 47.0528.01
[8] J. Nielsen, Ringfladen og Planen, Matematisk Tidsskrift 1924.
[9] Der Spezialfall, in demn=2,a=?1 ist, ? eineindeutig ist und die Randkreise vertauscht, ist als Folgerung aus dem Brouwerschen Translationssatz von v. Ker?kj?rt? (?ber Transformationen des ebenen Kreisringes, Math. Annalen80 (1919)) bewiesen worden.
[10] Der Sinn der Klasseneinteilung ist der, da? zwei Abbildungenf i ,f j dann und nur dann einer Klasse angeh?ren, wenn sie durch eine Decktransformationf i (x)=x’=x+k ineinander transformierbar sind:f i =t k ?1 f i t k.
[11] Satz von Poincar?-Bohl; s. Fu?note 18) der unter 1) zitierten Arbeit von Feigl.
[12] Die auf einer (n?1)-dimensionalen Kugel um den Nullpunkt angebrachten Vektoren eines solchen linearen Vektorfeldes mit nicht verschwindender Determinante vermitteln eineeineindeutige Abbildung der Kugel auf die Richtungskugel, daher ist der Index ?1.
[13] Inhalt und Methode dieses Paragraphen laufen denen des ? 2 parallel; daher ist die Darstellung zwecks Vermeidung von Wiederholungen knapp gehalten. Man vergleiche immer die entsprechenden Stellen im ? 2.
[14] k v bedeutet im folgenden stets eine ganze Zahl.
[15] Dirichlet-Dedekind, Vorlesungen ?ber Zahlentheorie, 4. Aufl., XI. Supplement.
[16] Brouwer, ?ber Abbildung von Mannigfaltigkeiten, Math. Annalen71 (1911); vgl. Feigl wie unter 1), wo auch Fixpunkts?tze f?rP n bewiesen sind.
[17] Auf diesen Satz wies mich Herr Brouwer in einem Gespr?ch hin, als ich ihm Satz IIIa mitteilte. (Zusatz bei der Korrektur.) Vgl. die inzwischen erschienene Note von Brouwer: On transformations of projective spaces, Koninkl. Akad. v. Wetenschappen te Amsterdam, Proceedings29 (1926).
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