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Sur les ensembles compacts de fonctions mesurables. (French) JFM 53.0233.04

Verf. knüpft an eine Arbeit von Veress (ibidem 7 (1925), 244-249 ; F. d. M. 51) an, wo “kompakte” Mengen meßbarer Funktionen untersucht wurden, -“kompakt” in dem Sinn, daß jede Untermenge eine gleichmäßig konvergente Teilfolge enthält. Verf. stellt hier eine analoge Untersuchung an, wobei er aber dem Begriff “kompakt” einen andern Sinn erteilt. Allgemein hängt ja der Begriff “kompakt” von demjenigen Konvergenzbegriff ab, der dem betrachteten Funktionalraum \(\mathfrak R\) zugrunde gelegt wird, und eine Menge \(M\) aus \(\mathfrak R\) heißt “kompakt”, wenn jede in \(M\) enthaltene Elementarfolge eine “konvergente” Teilfolge enthält. Während nun bei Veress der zugrunde gelegte Konvergenzbegriff die gleichmäßige Konvergenz ist, benutzt der Verf. statt dessen die asymptotische Konvergenz (conv. en mesure). Und er beweist den folgenden (zu dem bekannten Arzelàschen Satz analogen) Satz: Es sei eine Menge \(F\) von meßbaren Funktionen auf einer festen linearen, beschränkten Menge \(E\) gegeben. Damit jede unendliche Folge von Funktionen von \(F\) eine auf \(E\) asymptotisch konvergente Teilfolge enthalte, ist notwendig und hinreichend, daß die Funktionen von \(F\) “gleichgradig” fast beschränkt und ”gleichgradig” fast stetig auf \(E\) sind. – Dies bedeutet, daß es zu je zwei vorgegebenen positiven Zahlen \(\varepsilon\) und \(\omega\) zwei Zahlen \(N\) und \(A\) gibt, so daß man \(E\) in \(N\) feste Teilmengen \(E_1, E_2, \ldots, E_N\) zerlegen kann und jeder Funktion \(f(x)\) von \(F\) eine (eventuell leere) Menge \(e_f\) vom Maße \(< \varepsilon\) zuordnen kann, so daß 1. \(|f(x)| \leqq A\) auf \(E - e_f\) und 2. die Schwankung von \(f(x)\) auf jeder der Mengen \(E_k - e_f\) kleiner als \(\omega\) ist. Verf. beweist zuvor, daß bei gegebenem \(\varepsilon\), \(\omega\), \(f\) die Wahl von \(N\) und \(A\) möglich ist, so daß es also nur darauf ankommt, bei gegebenem \(\varepsilon\) und \(\omega\) die Wahl unabhängig von \(f\) in \(F\) treffen zu können.

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Full Text: DOI EuDML