×

Über adjungierte Polynome bei irreduziblen algebraischen Gebilden beliebiger Mannigfaltigkeit. (German) JFM 53.0119.01

Unabhängig von der in der geometrisch-algebraischen Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen benutzten Singularitätenauflösung wird in der Arbeit des Verf.’s ein Weg angegeben, im Polynombereich von m Variabeln zu einem beliebigen “Haupt-Primideal”, dessen Untersuchung für die Theorie der algebraischen Funktionen hinreicht, ein adjungiertes Ideal zu definieren. Ein Haupt-Primideal ist dabei ein solches Primideal \({\mathfrak P}\) des Polynombereiches, für das die Anzahl \(i\) der Basiselemente gleich \(m - r\) wird, wo \(r\) die Mannigfaltigkeit des durch \({\mathfrak P}\) definierten algebraischen Gebildes bedeutet. Dieser Begriff des adjungierten Ideals ist für die betr. speziellen Fälle mit dem historischen im allgemeinen identisch. Adjungiertes Ideal \({\mathfrak A}\) und Singularitätenideal \({\mathfrak S}\) eines Haupt-Primideals haben dieselben Nullstellen. Das adjungierte Ideal erweist sich als affinrational-kovariant mit dem Ausgangsprimideal, woraus gefolgert werden kann, daß Grade und Exponenten der irreduziblen Faktoren der Hentzeltschen Resultante von \({\mathfrak A}\) und \({\mathfrak S}\) affinrationale Invarianten darstellen; für \(m = 2\) ergibt sich daraus insbesondere die affinrationale Invarianz des Grades und der einzelnen Linearfaktorexponenten des Kroneckerschen außerwesentlichen Diskriminantenteilers der Kurvengleichung. Durch Einführung homogener Koordinaten wird die projektive Invarianz der homogenen Formen bewiesen. Schließlich gestattet der Begriff der adjungierten Formen, für die algebraische Mannigfaltigkeit ein “Hauptgeschlecht” zu definieren als Maximalzahl der linear unabhängigen adjungierten Formen einer bestimmten Dimension, die durch eine Basis des homogen gemachten Haupt-Primideals festgelegt ist. Unter gewissen Voraussetzungen erweist sich das Hauptgegeschlecht als eine birationale Invariante. (II 7.)
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI Crelle EuDML