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Über konforme Transformationen im Raume. I. (German) JFM 52.0634.02

Durch Abbildung des (dreidimensionalen) konformen Punktkontinuums auf eine singularitätenfreie quadratische dreidimensionale Mannigfaltigkeit \(M_3^2\) des vierdimensionalen Raumes gehen die konformen Transformationen des Raumes über in die automorphen Kollineationen dieser \(M_3^2\). So entsteht das Problem, alle eigentlichen linearen Substitutionen zu suchen, die die quadratische Form \[ x_0^2 - x_1^2 - x_2^2 - x_3^2 - x_4^2 \] in sich überführen. Soweit eine Lösung mit Mitteln des Matrizenkalküls erreicht werden konnte, verdankt man sie Frobenius (1878; F. d. M. 9, 85 (JFM 09.0085.*)-89), weitere Fortschritte (z. T. unter Verwendung höherer komplexer Zahlsysteme) Lipschitz, Vahlen und Cartan (vgl. Lipschitz, Untersuchungen über die Summen von Quadraten, 1886; F. d. M. 18, 152 (JFM 18.0152.*); Vahlen, Math. Ann. 55 (1902), 585-593; F. d. M. 33, 721 (JFM 33.0721.*); Cartan, Französische Enzyklopädie I, 5: Nombres complexes, S. 464-465). Verf. gelangt zu einer einheitlichen Darstellung der konformen Transformationen mit Hilfe eines Systems komplexer Zahlen in sechzehn Einheiten. Aus elf der sechzehn homogenen Parameter, welche die Darstellung vermitteln, lassen sich die übrigen fünf eindeutig ermitteln. Die zehn quadratischen Bedingungsgleichungen zwischen den Parametern lassen sich auf fünf reduzieren. Alle diese zuletzt erwähnten Verhältnisse gewinnen an Übersichtlichkeit, wenn die sechzehn homogenen Parameter der hyperkomplexen Größen \(\mathfrak{A}\) als homogene Punktkoordinaten im \(R_{15}\) gedeutet werden, entsprechend ihre quadratischen Beziehungen als \(M_{14}^2\) usw. Es erscheint dann auf zwei Arten möglich, die Gesamtheit der konformen Transformationenen durch Fallenlassen der Bedingung nichtverschwindender Norm \(N(\mathfrak{A})\) zu einem abgeschlossenen Kontinuum zu ergänzen.

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Full Text: DOI EuDML