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General mean modulus of analytic functions. (English) JFM 52.0312.03

Es wird eine Reihe funktionentheoretischer Minimumprobleme des folgenden Typus gelöst: \(C\) sei eine einfach geschlossene analytische Kurve der Länge \(l\), \(\{ f(z)\}\) eine Menge von im Innern von \(C\) regulären Funktionen, für die \(\displaystyle \int \limits _C |f(z)|^p\,d\sigma \) (\(p>0\)) existiert, und die noch gewissen Bedingungen unterworfen sind, so z. B. \[ f(\alpha _i)=k_i,\cdot \alpha _i \text{\;\;in \;\;}C\quad (i=0,1,\ldots,n). \] Gefragt wird nach demjenigen \(f(z)\), für das \[\frac{1}{l}\int \limits _C |f(z)|^p\,d\sigma \quad (p>0)\tag{1}\] zum Minimum wird. Mittels der von {\it Szegö} eingeführten orthogonalen Polynome (1921 ; F. d. M. 48, 374 (JFM 48.0374.*)-376) und des mit ihrer Hilfe gebildeten Kernes läßt sich die gesuchte Funktion leicht ausdrücken und das zugehörige Minimum des Integrals (1) angeben. Ist \(C\) der Einheitskreis, so lassen sich diese Ausdrücke explicite aufstellen. In diesem Zusammenhang erhält man auch eine Verallgemeinerung des {\it Vitali-Blaschke}schen Satzes, die indes weniger scharf ist, als die von {\it Ostrowski} gegebene (1923,1925; F. d. M. 49, 713 (JFM 49.0713.*); 51, 247). Auch ein Satz von {\it Carathéodory} und {\it Fejér} fügt sich hier ein (1907; F. d. M. 38, 427 (JFM 38.0427.*)). In einem letzten Abschnitt werden zwei ähnliche Minimumprobleme behandelt, bei denen der Flächeninhalt des Bildbereiches (vgl. {\it Kubota} 1920; F. d. M. 47, 327 (JFM 47.0327.*)), bzw. \[ \frac {1}{l}\int \limits _C |f'(z)|^2\,d\sigma \] unter gewissen Nebenbedingungen zu einem Minimum zu machen ist.

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