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Über den Grad der Approximation einer analytischen Funktion. (German) JFM 52.0299.03

Verf. beweist einen Satz über die mögliche Güte der Approximation einer in einem beschränkten abgeschlossenen Bereich \(C\) der \(z\)-Ebene regulären Funktion \(F(z)\) durch Polynome \(n\)-ten Grades \(V_n (z)\). Ist nämlich \(u = \varphi (z)\) die Funktion, die den Komplementärbereich \(B\) von \(C\) auf das Äußere des Einheitskreises abbildet, so daß \(\infty\) in \(\infty\) übergeht, und ist \(C_R\) die Niveaukurve \(|u| = R\), so ist die Regularität von \(F (z)\) in dem offenen, von \(C_R\) begrenzten Bereich notwendig und die in dem abgeschlossenen Bereich auch hinreichend dafür, daß \(|F(z) - V_n (z) |\) durch geeignete Wahl der \(V_n (z)\) klein wie \(\dfrac1{R^n}\) bei \(n \to\infty\) gemacht werden kann.
Im zweiten Teil des Satzes wird die Approximation der besagten Güte speziell durch die Entwicklung von \(F (z)\) nach Faberschen Polynomen gewonnen (1903; F. d. M. 34, 430 (JFM 34.0430.*)).

Citations:

JFM 34.0430.*
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