Oppenheim, A. On an arithmetic function. (English) JFM 52.0163.02 J. Lond. Math. Soc. 1, 205-211 (1926). Verf. betrachtet im Anschluß an P. A. MacMahon [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 22, 404–411 (1924; JFM 50.0083.02)] die Entwicklungskoeffizienten \(a_n\) in \[ f(s) = \prod_{n=2}^\infty \frac{1}{1 - n^{-s}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s} \qquad (\text{für } \sigma > 1), \] deren zahlentheoretische Bedeutung die ist, daß sie die Darstellungen von \(n\) als Produkt ganzer Faktoren \(\ge 2\) abzählen (\(a_1 = 1\)).Verf. gelangt mit Hilfe von Betrachtungen, die im Reellen verlaufen und bei denen Ergebnisse von S. Wigert [Acta Math. 37, 113–140 (1914; JFM 45.0328.01)] und S. Ramanujan [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 14, 347–409 (1915; JFM 45.1248.01)) herangezogen werden, zu folgenden Abschätzungen:\[ \frac{\log a_n}{\log n} < 1 - \frac{2 \log \log \log n}{\log \log n} + O\left(\frac{\log \log \log \log n}{(\log \log n)^2}\right). \]2. Für eine unendliche Folge von \(n\)-Werten ist: \[ \frac{\log a_n}{\log n} > 1 - \frac{2 \log \log \log n}{\log \log n} + O\left(\frac{1}{(\log \log n)^2}\right). \] Im zweiten Teil der Arbeit teilt der Verf. einige Ergebnisse über die Funktionen \[ A(x) = \sum_{n\leqq x} a_n \quad \text{ und } \quad B (x) = \int_1^x A(u)\, du \] ohne vollständige Beweise mit. Die Beweise beruhen auf funktionentheoretischen Betrachtungen. Reviewer: Müller, K., Studienassessor (Finsterwalde) Cited in 3 ReviewsCited in 12 Documents MSC: 11N56 Rate of growth of arithmetic functions 11A51 Factorization; primality JFM Section:Zweiter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 8. Analytische Zahlentheorie. Citations:JFM 50.0083.02; JFM 45.0328.01; JFM 45.1248.01 PDFBibTeX XMLCite \textit{A. Oppenheim}, J. Lond. Math. Soc. 1, 205--211 (1926; JFM 52.0163.02) Full Text: DOI Online Encyclopedia of Integer Sequences: Number of partitions of n with a product <=n.