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Über Nullstellenverteilung bei Polynomen, deren Wert an zwei Stellen gegeben ist. (German) JFM 52.0096.01

In Fortsetzung dreier früherer Noten (1923, 1924, 1925; F. d. M. 49; 47-48; 50, 252; 51, 97) beweist Verf. auf überraschend elementarem Wege eine Reihe von Sätzen, die es gestatten, aus der Kenntnis einer \(\alpha\)-Stelle \(a\) und einer \(\beta\)-Stelle \(b\) eines Polynoms \(P(x)\) \(n\)-ten Grades (\(\alpha \neq \beta\)) ein Gebiet \(G\) anzugeben, in dem mindestens eine Nullstelle von \(P(x)\) liegt. Dabei hängt \(G\) nur von \(a, b, \alpha, \beta\) und \(n\) ab, und zwar von \(n\) derart, daß sein Durchmesser ein \(O(n)\) ist.
Die Sätze, die der Lösung dieser Aufgabe zugrunde liegen, lassen sich folgendermaßen zusammenfassen: \(K(e_1, e_2; \tau)\) bezeichne das Kreisbogenzweieck, von dessen. Randpunkten aus die Strecke \(\overline{e_1,e_2}\) unter dem Winkel \(\tau\) \((0 < \tau \leqq \pi)\) erscheint. Dann gilt: Jeder Wert \(\gamma\) aus dem abgeschlossenen \(K(a, b; \varphi)\) wird mindestens einmal im abgeschlossenen \(K\biggl(a, b; \dfrac{\varphi}{n}\biggr)\) angenommen; wird er nicht im Innern angenommen, soliegt \(\gamma\) auf dem Rande von \(K(a, b; \varphi)\), und sämtliche \(\gamma\)-Stellen von \(P(x)\) liegen auf dem Rande von \(K\biggl(a, b; \dfrac{\varphi}{n}\biggr)\). Der Wortlaut dieses Satzes bleibt richtig, wenn \(K(e_1, e_2; \tau)\) den Kreis bzw. die Halbebene \(\biggl|\dfrac{x-e_1}{x-e_2}\biggr|\leqq e^\tau\) \(-\infty < \tau < \infty\) bedeutet; Analoges; gilt, wenn an Stelle des Innern das Äußere der \(K\) gesetzt wird.
Indem man sämtliche \(\alpha\)- und \(\beta\)-Stellen heranzieht, kann man leicht ein Gebiet finden, das sämtliche \(\gamma\)-Stellen enthält, das aber vom Grad des Polynoms abhängt. In Verallgemeinerung eines Satzes von Jentzsch (Archiv d. Math. und Phys. 26 (1917), 196) gelingt dem Verf. jedoch die Angabe eines von \(n\) unabhängigen Gebietes, Er beweist nämlich: Ist \(H\) eine konvexe Hülle der sämtlichen \(\alpha\)- und \(\beta\)-Stellen von \(P(x)\), so erscheint \(H\) von \(c\) aus unter einem Winkel \(\psi\geqq\varphi\), falls die Strecke \(\overline{\alpha\beta}\) von \(\gamma = P(c)\) aus unter dem Winkel \(\varphi\) erscheint. Wird \(H\) als Kreis gewählt, so liegen sämtliche \(\gamma\)-Stellen von \(P(z)\) im Innern oder auf dem Rande eines konzentrischen Kreises, der aus \(H\) durch Vergrößerung des Halbmessers im Verhältnis \((1 + t) : (1 - t)\) hervorgeht, wenn \(\gamma\) auf einem der Kreise \(\biggl|\dfrac{\gamma-\alpha}{\gamma-\beta}\biggr| = t\), \(\biggl|\dfrac{\gamma-\beta}{\gamma-\alpha}\biggr| = t\) \((t<1)\) liegt. Der Satz von Jentzsch ist der Spezialfall \(\varphi = \pi\) der ersten Behauptung. (IV 4.)

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Full Text: EuDML