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Contribution à la géométrie conforme. Enveloppes de sphères et courbes gauches. (French) JFM 51.0588.02

Journal Ecole Polytechn. (2) 25, 43-91 (1925).
Verf. geht von der fundamentalen homogenen linearen Differentialgleichung fünfter Ordnung aus, die zur konformen Geometrie einer einparametrigen Kurvenschar gehört, einer Differentialgleichung, deren Galoissche Gruppe die konforme Gruppe (orthogonale Gruppe in fünf Veränderlichen) ist. Es wird gezeigt, daß die konformen Invarianten der Schar nach der Normierung \({\mathfrak x}\,{\vphantom{{\mathfrak x}\,'}}^2={{\mathfrak x}\,'}^2=1\) des pentasphärischen Vektors \(\mathfrak x\) durch \(A={{\mathfrak x}\,''}^2\), \(B={{\mathfrak x}\,'''}^2\), \(C={{\mathfrak x}^{(IV)}}^2\), \(A'\), \(A''\), \(B'\) ausgedrückt werden können. Diese Invarianten werden teilweise geometrisch gedeutet. Eine Ausnahmestellung nimmt der Fall \(A =1\) ein ; die Schar besteht aus den Schmiegkugeln einer Raumkurve. Der konformen Geometrie der Raumkurven ist der zweite Teil der Arbeit gewidmet. Verf. setzt \({\mathfrak x}\,{\vphantom{{\mathfrak x}\,'}}^2=0\), \({{\mathfrak x}\,'}^2=1\), \({{\mathfrak x}\,''}^2=0\), \({{\mathfrak x}\,'''}^2=A\), \({{\mathfrak x}^{\,(IV)}}{\vphantom{{\mathfrak x}\,'}}^2=B\); die Hauptrolle spielen im folgenden die Invarianten \[ \begin{gathered} J=\frac{4AB-{A'}^2}{4A^{{}^5/{}_2}}\,,\\ K=\frac{9{A'}^2-8AA''}{16A^{{}^5/{}_2}}\,. \end{gathered} \] (Bzgl. \(J\) siehe auch Liebmann, 1923; F. d. M. 49, 531 (JFM 49.0531.*).) Die Ausdrücke werden geometrisch gedeutet, besonders mit Hilfe der Methode der Orthogonalkugeln.

Citations:

JFM 49.0531.*