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On the mean modulus of regular functions. (English) JFM 51.0248.01

Verf. beweist den folgenden F. Rieszschen Satz (F. d. M. 47, 272) durch den Carathéodory-Fejérschen Satz (F. d. M. 42, 430).
Es sei \(\{f(z)\}\) eine Menge analytischer Funktionen, regulär für \(|z|\leqq 1\), \[ f(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n+\cdot\;\;\cdot \] für welche \[ C_na_0+C_{n-1}a_1+\cdots+C_0a_n=1 \] ist, wo \(C_0\), \(C_1\),…, \(C_n\) vorgeschriebene Konstante bedeuten.
Die einzige Funktion in \(\{f(z)\}\), welche \[ J(f)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{|z|=1}|f(z)|\,|dz|= \text{Min} \] genügt, ist \[ f^*(z)=\frac{2\pi}{m\int\limits_{|z|=1}|P(z)|^2\,|dz|}(P(z))^2, \] wo \(P(z)\) ein Polynom vom Grade \(n\) ist, von der Art, daß \[ F(z) = m\frac{z^n\overline{P}(\frac{1}{z})}{P(z)}=C_0+C_1z+\cdots+C_nz^n+\cdots\quad (m > 0) \] die Carathéodory-Fejérsche Funktion mit vorgeschriebenen \(n + 1\) ersten Koeffizienten \(C_0\), \(C_1\),…, \(C_n\) bedeutet.
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