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Umkehrung bestimmter Integrale und absolute Approximation. (German) JFM 50.0286.02

Die Abhandlung befaßt sich mit der Lösung der Integralgleichung erster Art \[ (1)\quad \int_a^b K(s,t)g(t)dt=f(s),\;a \leqq s \leqq b \] im Gebiet der quadratisch integrierbaren Funktionen. Während die Picard-Lauricellasche Lösungsmethode die explizite Kenntnis aller adjungierten Schmidtschen Eigenfunktionen von \(K(s,t)\) voraussetzt, versuchten Vergerio und Mollerup das Schmidtsche Iterations- und Abspaltungsverfahren direkt auf die Gleichung (1) zu übertragen. Dabei ist aber immer noch eine unendliche Folge von einander konsekutiv bedingenden unendlichen Grenzprozessen dreierlei Art (Iteration, Bestimmung von Eigenfunktionen, Berechnung von Fourierkonstanten) vorzunehmen, bevor die Bedingungen der Lösbarkeit und die Lösung kleinster Norm (= Minimallösung) gegeben werden kann.
Verf. stellt nun fest, daßschon der erste einfache Iterationsprozeßder Vergerio-Mollerupschen Methode allein zur expliziten Angabe der Minimallösung ausreicht und daßder gleiche erste Iterationsprozeßauch alle zugehörigen adjungierten Eigenfunktionen und Eigenwerte liefert. Der Beweis ist im ersten Teil der Arbeit enthalten.
Man bilde (alle Integrationen beziehen sich auf das Intervall \((a,b)\)) \[ \begin{aligned} g_1(t)&=\int f_0(s)K(s,t)ds,\;f_1(s)=\int K(s,t)g_1(t)dt,\;f(s)=f_0(s),\\ g_n(t)&=\int f_{n-1}(s)K(s,t)ds,\;f_n(s)=\int K(s,t)g_{n- 1}(t)dt. \end{aligned} \] Durch Orthogonalisierung und Normierung erhält man aus dem System \(f_n(s)\) \((n = 1, 2, 3,\dots)\), bzw. \(g_n(t)\) \((n = 1, 2, 3,\dots)\) die Folgen \(f_n^*(s)\), \(g_n^*(t)\) \((n = 1, 2, 3,\dots)\) und daraufhin die Konstanten \(a_n=\int f(s)f_n^*(s)ds\). Sind ferner die Konstanten \(c_n\) durch \(c_n=\int f(s)f_n(s)\) \((n = 0, 1, 2,\dots)\) definiert und ist \(g_n^*(t)=\sum_{p=1}^n a_pg_p(t)\), so führen wir die Konstanten \(b_n=\sum_{p=1}^n \alpha_p c_{p-1}\) \((n = 1, 2,\dots)\) ein. Dann gilt der Hauptsatz:
Damit eine Lösung von (1) existiere, ist notwendig und hinreichend: a) das Bestehen der Gleichung \(\int f(s)^2ds=\sum_1^\infty a_n^2\); b) die Konvergenz der Reihe \(\sum_1^\infty b_n^2\). Sind aber diese beiden Bedingungen erfüllt, so ist die Lösung kleinster Norm gegeben durch \(g_0(t) \sim \sum_1^\infty b_ng_n^*(t)\), wobei das Äquivalenzzeichen im Sinne der Konvergenz im Mittel zu verstehen ist.
Die Berechnung der Eigenfunktionen und der Eigenwerte läßt sich ebenfalls mittels einfacher Grenzübergänge durchführen.
Im zweiten Teil der Arbeit untersucht der Verf. die Dichtigkeit des Systems der Funktionen \(F_n(x)=\int_a^x f_n(s)ds\). Ist ein System \(\{F_n(x)\}\) \((n = 1,2,3,\dots)\) gegeben, so wird es im allgemeinen nur eine gewisse, eben dadurch bestimmte Klasse von Funktionen \(F(x)\) zu approximieren imstande sein. Es kann aber der Fall eintreten, daßjede Funktion \(F(x)\), die durch die Gesamtheit aller \(F_n(x)\) approximierbar ist, diese Eigenschaft auch gegenüber jeder unendlichen Teilfolge der \(F_n(x)\) beibehält. In diesem Falle heißt das System der \(F_n(s)\) dichtes System. Es gilt nun der Satz. Es sei \(F_n(s)=\int_a^x f_n(s)ds\). Das System der \(F_n(x)\) ist stets dicht. Wenn das System der quadratisch vollständig ist, so besteht der weitere Satz: Jede beliebige stetige Funktion \(F(x)\) läßt sich in \(a < a' \leqq x \leqq b\) durch jede willkürlich gewählte Folge \(F_{\nu_p}(x)\) beliebig genau approximieren.

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