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Über die asymptotische Darstellung der Eigenfunktionen linearer Integralgleichungen. I. (German) JFM 50.0279.01

Ist \(k(x,y)\) ein symmetrischer, im Quadrat \(0 \leqq x,y \leqq 1\) stetiger und in dem Dreieck \(0<x<y<1\) dreimal stetig differentiierbarer Kern und ist \[ \left[ \frac{\partial k(x,y)}{\partial x} \right]_{y=x- 0}^{y=x+0}=S(x) \geqq \alpha>0 \;\text{für}\;0<x<1, \] so gilt für die \(n\)-te zum Eigenwert \(\lambda_n>0\) gehörige Eigenfunktion \(\varphi_n(x)\) der asymptotische Ausdruck \[ \varphi_n(x)=\sqrt 2 \left( \int_0^1 S(t)^{1/2}dt \right)^{-\frac 12} S(x)^{1/4} \sin \left( \sqrt{\lambda_n} \int_0^x S(t)^{1/2} dt+\kappa_n \right)+R_n(x), \] wo \(\kappa_n\) von \(x\) unabhängig ist und \(R_n(x)\) mit \(n \to \infty\) gleichmäßig gegen 0 konvergiert; ein analoger Ausdruck gilt für die Abbildung \(\varphi_n'(x)\). Der Beweis wird geführt, indem die durch zweimalige Differentation aus der homogenen Integralgleichung entstehende Integrodifferentialgleichung approximativ durch trigonometrische Funktionen gelöst und der Rest unter Benutzung der Integralgleichungstheorie abgeschätzt wird.

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References:

[1] Z. B. A. Kneser, Die Integralgleichungen und ihre Anwendungen in der mathematischen Physik, 2. Aufl., § 29. · JFM 50.0290.03
[2] Damit der Satz etwas aussagt, ist natürlich die Existenz unendlich vieler positiver Eigenwerte vorauszusetzen.
[3] Z. B. V. Volterra Leçons sur les équations intégrales et les équations intégrodifferentielles (1913), Kap. II, insbes. S. 45-47.
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