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Beweis des Picard-Landauschen Satzes. (German) JFM 50.0219.02

Grundlage der Untersuchung bildet die Jensen-Nevanlinnasche Formel [F. d. M. 48, 359 (JFM 48.0359.*), Formel (2), wo der Realteil der in Rede stehenden Formel angegeben ist], durch die eine in einem gegebenen Gebiete meromorphe Funktion durch ihre Nullstellen und Pole sowie die Randwerte des absoluten Betrages dargestellt wird, und die sich als unmittelbare Folgerungen der Greenschen Formel der Potentialtheorie ergibt. Die Nullstellendichte einer in einem Kreis regulären Funktion wird durch das Anwachsen des Integrals \[ N(r,f)=\int_0^r \frac{n(t,f)}{t} dt \] charakterisiert, wo \(n(r,f)\) die Anzahl der Nullstellen von \(f(z)\) in \(| z| <r\) bedeutet, während das Anwachsen der Funktion durch das Integral \[ (1)\quad m(r,f)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \overset{+}{\log}| f(re^{i \varphi})| d \varphi \] gemessen wird. Dabei ist \(\overset{+}{\log}| f| \) entweder \(= \log | f| \) oder \(= 0\), je nachdem \(| f| \geqq 1\) oder \(| f| \leqq 1\) ist.
1. Ist dann \(f(z)\) eine ganze Funktion, die zwei Werte nicht annimmt, so ist \[ m(r,f)<C+2 \overset{+}{\log} \varrho + 4 \overset{+} {\log} \frac{1}{\varrho-r} + 2 \overset{+} {\log} m(\varrho,f) \] für \(0 < r < \varrho\). Dabei ist \(C\) von \(r\) und \(\varrho\) unabhängig. Hieraus ergibt sich dann, daß\(f\) konstant sein muß, also ein Beweis des speziellen Picardschen Satzes.
2. Ist \(f(z)\) eine beliebige Funktion, die in einem Kreise \(| z| < R\) regulär und nicht konstant ist, ist \(f(z)=c_0+c_pz^p+\cdots\) \((c_p \neq 0)\), und sind \(a,b,a \neq b\) zwei Zahlen, so gibt es eine nur von \(c_0,c_p,p,a,b\) abhängige Konstante \(C\) derart, daß \[ (2) \begin{matrix} m(r,f)<Cz&+8p \left( \overset{+} {\log} \frac 1r + \overset{+} {\log} \varrho \right) +6 \overset{+}{\log} \frac{1}{\varrho-r} + N(\varrho,f-a) \\ &+N(\varrho,f-b)-N(r,f')+4 \overset{+}{\log} m(\varrho,f) \end{matrix} \] für \(0<r<\varrho<R\) gilt.
3. Aus (2) ergibt sich für jedes ganze \(f\) bei \(\varrho'>\varrho>0\), \(k>0\) \[ (3)\quad \int_{\varrho_0}^{\varrho'} \frac{m(r,f)}{r^{k+1}} dr<C_1+C_2 \int_{\varrho_0}^{\varrho'} \frac{N(r,f-a)+N(r,f- b)}{r^{k+1}}dr, \] wo \(C_2\) nur \(\varrho_0\) und \(k\), \(C_1\) nur von \(a,b,c_0,c_p,p,\varrho_0,k\) abhängt.
4. Aus (3) ergibt sich der folgende, von Valiron (C. R. 172; F. d. M. 48, 356 (JFM 48.0356.*), 1922) für ganze Funktionen endlicher Ordnung schon bewiesene Satz:
\(r_\mu(x)\) seien die absoluten Beträge der Nullstellen von \(f(z) - x\). Wenn dann für ein gewisses \(k > 0\) \[ \sum_{\mu=1}^\infty \left( \frac{1}{r_\mu(x)} \right)^k \] für zwei verschiedene Werte von \(x\) konvergiert, so konvergiert auch \[ \int_{\varrho_0}^\infty \frac{\log M(r)}{r^{k+1}} dr \] und es ist \(M(r)=e^{o(r)r^k}\),
5. Analog ergibt sich für Funktionen \(f(z)\), die im Einheitskreis regulär sind:
Wenn \(\sum_1^\infty (1-r_\nu(x))^{1+k}\) für ein gewisses \(k > 0\) für zwei verschiedene Werte von \(x\) konvergiert, so sind auch die Integrale \[ \int_{\varrho_0}^1 m(r,f)(1-r)^{k-1}dr \;\text{und}\;\int_{\varrho_0}^1 \log M(r)(1-r)^kdr \] konvergent, und es ist \(\lim_{r \to 1}(1-r)^k m(r,f)=0\), \(\lim_{r \to 1} (1-r)^{k+1} \log M(r)=0\).
6. Durch konforme Abbildung können die für den Einheitskreis gewonnenen Ergebnisse auf andere einfach zusammenhängende Gebiete übertragen werden. Für Winkelräume wird das näher ausgeführt.
7. Vom Verfasser formulierte, aber noch ungelöste Fragen sind diese: Kann bei nichtganzzahliger Ordnung einer ganzen Funktion für ein passendes \(x\) \[ \lim_{r \to \infty} \frac{N(r,f-x)}{m(r,f)}=0 \] gelten?
Der Verf. kennt kein Beispiel einer ganzen Funktion, wo \[ \lim\sup_{r\to\infty}\frac{N(r,f- x)}{m(r,f)} \] für zwei verschiedene Werte von \(z\) kleiner als 1 wäre.
8. Die Arbeit gibt einige Ausführungen über eine Theorie von Funktionen, die im Einheitskreis von endlicher Ordnung sind. Dabei heißt Ordnung die untere Grenze derjenigen Zahlen \(k\), für die \[ \int^1 \log M(r)(1-r)^{k-1}dr \] konvergiert
9. Endlich wird gezeigt, daß(2) fast unverändert für Funktionen gilt die in einem Kreisring regulär sind. Dies ermöglicht den Beweis des allgemeinen Picardschen Satzes.
10. In der Note aus den Göttinger Nachrichten wird mit den Methoden der eben ausführlich referierten Arbeit der Landausche Satz bewiesen.
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