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Sur une classe de fonctions d’ensemble. (French) JFM 50.0185.04

Fund. math. 6, 170-188 (1924).
\(K_0\) sei der kleinste, in einem Einheitsquadrat \(Q\) enthaltene Mengenkörper über sämtlichen Teilquadraten von \(Q\) (wobei die Summenbildung nur auf elementenfremde Mengen erstreckt wird). Alle betrachteten Mengenfunktionen seien auf \(K_0\) definiert. Verf. beweist zunächst, daßdie (in Lebesguescher Weise definierte) obere und untere Ableitung einer Mengenfunktion meßbar ist. Für Mengenfunktionen beschränkter Schwankung zeigt er dann, daßdie Punkte, wo die obere oder untere Ableitung unendlich ist, eine Nullmenge bilden. Diejenigen Mengenfunktionen von beschränkter Schwankung, für die \(F(E_1 + E_2)\leqq F(E_1) + F(E_2)\) ist, sofern \(E_1\) und \(E_2\) fremd sind, bezeichnet Verf. als “normale” Funktionen. Eine normale Funktion ist Differenz von zwei ebensolchen nicht-negativen Funktionen und sie besitzt fast überall eine (integrierbare) Ableitung. Ferner gibt Verf. für Funktionen \(F(X)\) beschränkter Schwankung bzw. für solche, die absolut-stetig sind, geeignete Bedingungen an, unter denen fast überall eine (integrierbare) Ableitung existiert oder das Integral der Ableitung die Funktion \(F(X)\) (oder ihre totale Variation) liefert.
Schließlich wendet Verf. (unterstützt von Steinhaus) [S. 186-188] seine Resultate an, um einige Bemerkungen zu dem System von Hypothesen zu machen, das in der Darstellung von P. Hertz [Weber und Gans, Repertorium der Physik, I 2, Leipzig 1916, 482-487] der statistischen Mechanik zugrunde gelegt ist.

Full Text: EuDML