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A proof and extension of the Jordan-Brouwer separation theorem. (English) JFM 49.0403.01

Die vorliegende Behandlung des Jordan-Brouwerschen Zerlegungssatzes ist darum von besonderer Bedeutung, weil der Jordansche Kurvensatz und seine mehrdimensionale Verallgemeinerung dabei in Verbindung gebracht wird mit einer wesentlich allgemeineren Problemstellung. Beim Jordanschen Kurvensatz handelt es sich um ein in die Ebene (oder, was nicht sehr wesentlich verschieden ist, in eine Kugelfläche \(H^2\)) eingelagertes topologisches Abbild der Kreislinie; gefragt wird nach der Anzahl der Teile des Restbereiches. Allgemein kann man, wenn in einem Raum das topologische Abbild \(C\) einer Figur vorliegt, nach den Beziehungen fragen zwischen den Zusammenhangsverhältnissen von \(C\) und denen des Restbereiches \(H - C\). Diese Frage wird behandelt für einen sphärischen Raum \(H = H^n\) (definiert durch \(x_0^2 + x_1^2 +\cdots+ x_n^2 = 1\) in einem cartesischen \(x_0x_1 \cdots x_n\)-Raum) und einen in ihn eingelagerten, aus Zellen 0-ter bis \(n\)-ter Dimension zusammengesetzten Komplex \(C\) (“chain” genannt), wovon eine in \(H^n\) eingelagerte mehrdimensionale Mannigfaltigkeit nur einen Spezialfall bildet. Ein solcher Komplex hat gewisse, von Veblen und Alexander eingeführte (Annals of Math. (2) 14; F. d. M. 44; siehe auch Veblen, Analysis situs, 1922; F. d. M. 48) aus seinem Zellaufbau in einfacher Weise ableitbare Zusammenhangszahlen \(R^s\) (\(s = 0\), 1, \(\ldots\), \(n\)). Es werden nun auch für den Restbereich \(H^n - C\) Zusammenhangszahlen \(\overline R{\,}^s\) definiert. Für sie wird dann die folgende “Dualitäts”-Beziehung bewiesen: \[ R^i =\overline R{\,}^{n-i-1}\qquad (0\leqq i\leqq n -1). \tag{1} \] Da \(\overline R{\,}^0\) die Anzahl der Teile von \(H^n - C\) angibt und sich speziell für eine geschlossene \((n - 1)\)-dimensionale Mannigfaltigkeit \(C=M^{n-1}\) die Zahl \(R^{n-1}\), und somit \(\overline R{\,}^0\), gleich 2 ergibt, so enthält (1) die Zweiteilung des \(H^n\) durch eine \(M^{n-1}\) (im besonderen also durch eine sphärische \(M^{n-1} = S^{n-1} ={}\) topologisches Bild von \(H^{n-1}\) in \(H^n\)), d. h. den im Titel genannten Zerlegungssatz.
In einem vorbereitenden Teil der Arbeit werden die benötigten topologischen Hilfsmittel über Zellenkomplexe, ihre Berandungsrelationen und die Zusammenhangszahlen \(R^s\) entwickelt. In dem die Dualitätsbeziehung (1) betreffenden Hauptteil der Arbeit wird der Behandlung des allgemeinen Falles eines beliebigen Zellkomplexes \(C\) die wesentlich einfacher zu überblickende Erledigung zweier Spezialfälle vorausgeschickt: daß \(C\) das topologische Bild einer \(i\)-dimensionalen Zelle (d. h. eines \(i\)-dimensionalen elementaren Raumstückes, wie \(x_1^2+ \cdots + x_i^2\leqq1\)) bzw. einer \(i\)-dimensionalen Sphäre \(H^i\) ist (\(C = S^i\)). Im besonderen wird damit der spezielle Fall \(M^{n -1}= S^{n-1}\) des obgenannten Zerlegungssatzes vorweg erledigt.
Am Schluß der Arbeit werden noch Erreichbarkeitssatz und Invarianz des Gebietes als Folgerungen aus dem Hauptsatz dargetan.

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