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Über den Hauptsatz aus der Theorie der konformen Abbildung. (German) JFM 48.1231.06

Münch. Ber. 1922, 91-100 (1922).
Ein besonders einfacher, rein funktionentheoretischer Beweis, der auch die Frage der Ränderzuordnung durchsichtig erledigt; die Gedankengänge weisen eine gewisse Verwandtschaft mit denjenigen von Courant, Göttg. Nachr. 1914, auf.
Formulierung des Hauptsatzes: \(\mathfrak g\) sei ein einfach zusammenhängendes, endliches Gebiet der \(z\)-Ebene, das einen Kreis \(|z|< \gamma\) ganz enthält und in \(|z|<\varGamma>\gamma\) ganz enthalten ist; dann existiert eine und nur eine Potenzreihe von der Form \[ z=\mathfrak P (Z)=Z+a_2Z^2+\cdots, \tag{1} \] die in einem wohlbestimmten Kreise \(|Z|<\varrho\) jeden Wert \(z\) aus \(\mathfrak g\) ein- und nur einmal annimmt.
Der Rand von \(\mathfrak g\) darf als Jordankurve angenommen werden; ist \(\mathfrak g\) echtes Teilgebiet eines anderen Gebietes \(\mathfrak d\), so hat \(\mathfrak d\) Randpunkte, die äußere Punkte für \(\mathfrak g\) sind. Es gibt unendlich viele Gebiete \(\mathfrak d\) um \(z=0\) und innerhalb \(|z|=\varGamma^* >\varGamma\), die durch Reihen von der Form (1) auf \(|Z|<r_{\mathfrak d}\) abgebildet werden, und für die \(\mathfrak g\) echtes oder unechtes Teilgebiet ist; es gibt ein Gebiet \(\mathfrak d_0\) darunter, für welches \(r_{\mathfrak d} =\varrho\) ausfällt, und es ist identisch \(\mathfrak d_0=\mathfrak g\).
Der Beweis wird mit Hilfe des bekannten Montelschen Satzes und der Carathéodoryschen Folgerungen aus demselben (Math. Ann, 72, 120-121, 1912) gegeben. Würde das danach existente \(\mathfrak d_0\) als \(> \mathfrak g\) angenommen, so gäbe es zwei verschiedene Randpunkte \(a_0\), \(b_0\) von \(\mathfrak d_0\) außerhalb \(\mathfrak g\), die man dort auch durch einen Querschnitt verbinden könnte, der dann von \(\mathfrak d_0\) ein Gebiet \(\mathfrak t_0\) außerhalb \(\mathfrak g\) abtrennt; das Bild jenes Querschnittes \(a_0\) …\(b_0\) ist ein Querschnitt \(A\) …\(B\) des Kreisgebietes \(|Z|< \varrho\), und \(A\), \(B\) sind zwei verschiedene Punkte der Kreislinie \(|Z|=\varrho\). Letzteres führt nun auf einen Widerspruch, sobald die Frage der Ränderzuordnung -wie dies hier erneut geschieht – in bekannter Weise entschieden ist, da dann aus der obigen Fragestellung sich nur ein einziger zugeordneter Randpunkt \(A\) ergibt.
In analoger Weise führt ein spezielleres Einschachtelungsverfahren zum Ziele. Für das Außengebiet einer zunächst konvexen Kurve \(C\) wird noch ein elegantes direktes Verfahren angegeben: man bilde das Polynom \(P(z)=z^n +b_1z^{n-1}+ \cdots +b_n\) mit kleinstmöglichem Maximum auf \(C\); dann wird die Abbildungsfunktion auf das Äußere des Einheitskreises \(Z\) einfach geliefert durch \(Z=f(z)=\lim \{P_n(z)\}^{\frac 1n}=z+\cdots\); mit Hilfe des Hauptsatzes läßt sich die Gültigkeit dieses Verfahrens dann auch für beliebige \(C\) beweisen.