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Über die Lage der Nullstellen von Polynomen, die aus Minimumforderungen gewisser Arten entspringen. (German) JFM 48.1136.03

Es sei \(P\) eine endliche bzw. abgeschlossene unendliche ebene Punktmenge mit einer kleinsten konvexen Hülle \(K\); ist \(A\) ein Punkt im Äußeren von \(K\), so lassen sich offensichtlich Punkte B derart angeben, daß dann für jeden Punkt \(p\) von \(P\) gilt: \(\overline{pB} < \overline{pA}\). Auf Grund dieser einfachen geometrischen Bemerkung läßt sich der folgende sehr allgemeine Satz beweisen: Es sei \[ g(x) = x^n + c_1x^{n-1}+\cdots +c_n,\tag{1} \] es sei durch irgend eine eindeutige Vorschrift \[ A_g = A(P; c_1, \ldots, c_n) \geqq 0\tag{2} \] in \(P\) als “Abweichung” des Polynoms \(g(x)\) von Null definiert, und es sei dann \(P_n(x)\) ein Polynom mit der kleinstmöglichen Abweichung dieser Art für den Grad \(n\); falls bei zwei beliebigen Polynomen \(h(x)\), \(k(x)\) von der Gestalt (1) stets \(A_g < A_h\) ausfällt, wenn überall in \(P|g(p)|<|h(p)|\) bei \(h(p) \neq 0\) bzw. \(|g(p)| =0\) für \(|h(p)| = 0\) ist, so liegen alle Nullstellen von \(P_n(x)\) in der konvexen Hülle \(K\) von \(P\). Der triviale Fall, in dem die Anzahl der Punkte von \(P\) kleiner als \(n\) ist, wird dabei außer acht gelassen.
Die Tschebyscheffsche Abweichung \[ A_g = Max|g(p)| \] ist ein besonders wichtiger Fall dieser Art; ebenso die in der Literatur z.T. schon vorher behandelte Besselsche Abweichung: \[ \dfrac{1}{k}\{|g(p_1)|^2+ \cdots + |g(p_k)|^2\} \] für endlich viele \(p\) (K. Jordan) bzw. \(\dfrac{1}{l} \int |g(p)|^2\,dl\) für Punkte einer ebenen Kurve von der Länge \(l\) (Szegö) bzw. \(\dfrac{1}{f}\iint |g(p)|^2\,df\) für Punkte einer ebenen Fläche. Der Hauptsatz umfaßt so als einfachste Fälle u. a. die Tschebyscheffschen bzw. die Legendreschen Polynome.

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