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Sur la représentation conforme des aires doublement connexes. (French) JFM 48.0406.04

Kurz vorher hat Thiry (F. d. M. 47, 928 (JFM 47.0928.*), 1920) die klassische Christoffel-Schwarzsche Formel für die fundamentale konforme Abbildung einfach zusammenhängender Polygonflächen auf solche von zweifachem Zusammenhang ausgedehnt. Hier wird nun, im Anschluß an einige früheren Arbeiten des Verf. (F. d. M. 42, 393 (JFM 42.0393.*), 1911; 43, 490,1912) gezeigt, wie man auch im Falle beliebig vorgeschriebener zweifach zusammenhängender Flächen eine Art expliziter Darstellung geben kann. Es wird durchweg die hydrodynamische Ausdrucksweise gebraucht, wobei wegen der Allgemeinheit des Problems auch negative Druckwerte zugelassen werden ; über die betrachtete Fläche wird eine wirbellose homogene Flüssigkeit von der Dichte l ausgebreitet und mit einer Art verallgemeinerter Rotation versehen, bei der die beiden -nur einigen Stetigkeitsbedingungen zu unterwerfenden – Ränder als Grenzdämme tangential durchlaufen werden. Ist \(\varphi\) das Potential, \(\psi\) die Strömungsfunktion, \(z\) die Bereichsvariable, und wird \[ f = \varphi + i \psi, \quad \frac {df}{dz} = u - iv = e^{-i \Omega} \] gesetzt, so wächst \(\varphi\) bei einem vollen Umlauf von \(z\) um eine Konstante \(\varphi_0\), während die Breite des erhaltenen Bildstreifens in \(f\) eine andere Konstante \(\psi_0\) ergibt; durch \[ f = - \frac {i \varphi_0}{2\pi} \log Z \] erhält man dann in \(Z\) einen Kreisring mit den Grenzradien 1 und \(q = e^{-2 \pi \tfrac {\psi_0}{\varphi_0}}\). Wird nun \(\varOmega\) als Funktion von \(Z\) betrachtet, \[ \varOmega (Z) = - i \log Z+ \varOmega^* (z), \quad Z = \sigma + it \] gesetzt, und bezeichnet man mit \(\varPhi (t)\) und \(\varPsi(t)\) die Werte der Neigungswinkel der Tangenten der beiden ursprünglichen Grenzkurven mit der Achse des Reellen bei den entsprechenden Werten von \(t\), so ergibt sich die folgende explizite Darstellung: \[ \begin{aligned} \varOmega^* (z) & = \frac {i\omega_1}{\pi^2} \int_0^{2\pi} [\varPhi (t) - t ] \zeta \left( \frac { \omega_1}{i \pi} \log Z \frac { \omega_1}{ \pi} t \right) \, dt \\ & - \frac {i\omega_1}{\pi^2} \int_0^{2\pi} [\varPsi (t) - t ] \zeta_3 \left( \frac { \omega_1}{i \pi} \log Z \frac { \omega_1}{ \pi} t \right) \, dt; \end{aligned} \] die hier auftretenden \(\zeta\)-Symbole sind diejenigen aus der Theorie der elliptischen Funktionen, also die Weierstraßschen \(\sigma^\prime / \sigma\) und \(\sigma^\prime_3 / \sigma_3\), \(\omega_1\) und \(\omega_3\) die zugehörigen Perioden, ferner \(q = e^{i \pi \omega_3 /\omega_1}\); übrigens ist noch \[ \int_0^{2\pi} [\varPhi (t) - \varPsi (t) ]\, dt = 0. \] Die derart gewonnenen, nicht einmal die Theorie der Integralgleichungen heranziehenden Formeln werden dann weiter diskutiert, an mehreren Beispielen erläutert und bei einigen rein hydrodynamischen Problemen verwertet.
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Full Text: DOI Numdam EuDML