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Sur les fonctions inverses des fonctions entières d’ordre fini. (French) JFM 48.0355.01

Ist \(w = g(z)\) eine ganze Funktion, \(z=\varphi(w)\) ihre Inverse, so hat \(\varphi(w)\) bekanntlich keine anderen nicht-algebraischen Singularitäten, als die “asymptotischen” Werte von \(g(z)\), d. h. diejenigen Werte, die \(g(z)\) als Grenzwert haben kann, wenn \(z \to\infty\) strebt (vgl. F. d. M. 38, 445 (JFM 38.0445.*), 1907). Von Wiman war die Vermutung geäußert worden, daß es nur endlich viele solche Werte gibt. Diese Vermutung wird hier so bewiesen, daß eine Schranke für die Anzahl \(n\) dieser Werte herausspringt: \(n\leqq\dfrac52\varrho\), wenn \(\varrho\) die Ordnung von \(g(z)\) bedeutet. Diese Schranke ist voraussichtlich nicht die genaue, läßt sich aber nicht unter \(2\varrho\) herabdrücken, wie die Funktion \[ g(z) = \int\limits_0^z \sin t^2\, dt \] zeigt, für die \(n = 4\), \(\varrho = 2\) ist.

Citations:

JFM 38.0445.*
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